Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan

1-xossa. O’tish ehtimollari matritsasining har bir elementi uchun

tengsizlik o’rinli.

2-xossa. (har bir satrdagi ehtimollar yig’indisi birga teng), ya’ni sistema m-tajribada holatda bo’lsa, n-tajrida holatlarning biriga albatta o’tadi.

3-xossa. Biror ustunning hamma elementlar nol bo’la olmaydi. Masalan, j-ustunning hamma elementlari noldan iborat bo’lsin. Bu esa sistemaning hech qachon j-holatda bo’la olmasligini bildiradi. Demak, bu holda holatlar soni s dan kichik bo’lar edi.

2.1.1-Ta’rif. Agar n cheksizlikka intilganda ixtiyoriy uchun

bajarilsa, bu o’tish ehtimollari bilan berilgan Markov zanjiri ergodik prinsipga bo’ysunadi deyiladi.

Qanday shartlar bajarilganda Markov zanjiri ergodik prinsipga bo’ysunadi? S=2 bo’lgan holni qaraylik. Bu holda o’tish ehtimollari matritsalari

va

Bu holda ta’rifdan ko’rinadiki, ergodik prinsipning o’rinli bo’lishi

lardan birining bajarilishiga teng kuchlidir.

Agar

desak,

bo’ladi va

2.1.1-Teorema. s=2 bo’lganda Markov zanjiri ergodik prinsipga bo’ysunishi uchun ushbu

qatorning uzoqlashuvchi bo’lishi zarur va yetarli.

Isboti. m=1 deb olishimiz mumkin, u holda da

ekanligini ko’ramiz. Lekin

Bundan

Demak, (2.1.3) ni isbotlash uchun da

ni ko’rsatish kifoya. ligidan va

dan (2.1.3) ning da ga teng kuchli ekanini ko’ramiz. Matematik analiz kursidan ma’lumki, bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarlidir. Shunga asosan da

bo’lishi uchun

bo’lishi zarur va yetarli. Teorema isbotlandi.

Bir jinsli Markov zanjiri uchun bir qadamda o’tish matritsasi sistema s ta holatli bo’lganda

bo’ladi. Bu hol uchun quyidagi teorema o’rinli.

2.1.2-Teorema. Agar biror k>0 son uchun o’tish ehtimollari matritsasi

ning hamma elementlari musbat bo’lsa, u holda zanjir ergodik bo’ladi va i ga bog’liq bo’lmagan shunday sonlar mavjudki,



bo’ladi.

Misol. O’tish matritsasi

bo’lgan 3 holatli,bir jinsli Markov zanjiri ergodik prinsipga bo’ysunadimi?

Yechish. Hamma elementlari musbat bo’lgan ni topamiz:

Demak, bu zanjir ergodik prinsipga bo’ysunadi.

Sodda Puasson protsessi

{Ω,F,P} ehtimollik fazosida aniqlanga va t parametrga bog’liq bo’lgan tasodifiy miqdorlar oilasi tasodifiy protsess deyiladi. Biror idishdagi gaz molekulasining harakatini kuzataylik. Kuzatilayotgan molekula vaqt o’tishi bilan boshqa bir molekula bilan to’qnashishi natijasida harakat trayektoriyasini o’zgartirishi mumkin, demak, bu tajribada kuzatilayotgan trayektoriyaning vaqtga bog’liqligi ravshan. Bu trayektoriyalar esa tasodifiy protsesni tashkil qiladi. Suv omboridagi suv miqdori vaqt o’tishi bilan o’zgarishda bo’ladi, va demak, suv omboridagi suv miqdori ham tasodifiy protsessdir. tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi ham tasodifiy protsess deb qaralishi mumkin, bunda ,

Agar T to’plam sanoqli elementlardan tashkil topgan bo’lsa, protsess uzluksiz “vaqtli” (parametrli) protsess deyiladi. Xususan, t parametr fiksirlansa, , u holda tasodifiy miqdorga ega bo’lamiz. Elementar hodisa ω fiksirlansa, , biz “vaqt”ning funksiyasi ni olamiz. Bu funksiya tasodifiy protsessning realizatsiyasi (trayektoriyasi,tanlanma funksiyasi) deyiladi.

Aytaylik, biror A hodisa [0,t] oraliqda tekshirilayotgan bo’lsin. Masalan, A hodisa telefon stansiyasiga [0,t] oralig’ida kelgan telefon chaqiriqlari sonidan iborat bo’lishi mumkin. orqali A hodisaning [0,t] vaqt orasida biror marta ham ro’y bermaslik hodisasini belgilaymiz. orqali esa A hodisaning [0,t] oraliqda k marta ro’y berishini belgilaymiz, k=1,2…,n,... Biz o’rganayotgan protsesimizga quyidagi shartlarni qo’yamiz:

1. Statsionarlik sharti. Kesishmaydigan oraliqlarda A hodisaning k marta ro’y berish ehtimoli faqat intervallar uzunligiga bog’liq bo’lib, shu intervallarni o’zgarmas h>0 ga bir vaqtda siljitishda o’zgarmay qolsa, u holda tasodifiy protsess statsionarlik shartiga bo’ysunadi deyiladi. Boshqacha aytganda, bizning holda, A hodisaning oraliqda k marta ro’y berish ehtimoli bo’lsa, ushbu

tenglik bajarilsin, bunda A hodisaning t vaqt davomida k marta ro’y berish ehtimoli.

2. Ta’sirchanlik sharti. Bu shart–biror bilan oraliqda A ning k marta ro’y berish hodisasi bilan kesishmaydigan boshqa oraliqlarda A ning necha marta ro’y berishi hodisasiga bog’liq bo’lmaslik shartidir.

3. Birginalik sharti. Aytaylik, Δt kichik vaqt orasida A hodisaning ikki va undan ortiq marta ro’y berish ehtimoli Δt ga nisbatan cheksiz kichik miqdor bo’lsin, ya’ni agar orqali A hodisaning Δt kichik vaqt oralig’ida k marta ro’y berish ehtimolini belgilasak,

bo’lsin. Shu bilan birga A hodisaning Δt kichik vaqt orasida bir marta ro’y berish ehtimoli

ga teng bo’lsin, bunda μ – musbat son. Bu (2.1.4), (2.1.5) ikki shart protsessning birginalik sharti deyiladi.

Statsionarlik, ta’sirsizlik va birginalik shartlarini qanoatlantiruvchi tasodifiy protsess sodda Puasson protsessi deyiladi.

2.1.3-Teorema. Sodda Puasson protsessi uchun

bo’ladi.

Isboti. (2.1.6) formulaning avval k=0 uchun tog’riligini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, yuqoridagi shartlarni e’tiborga olib, ushbu

munosabatni yoza olamiz. Bunda ekani e’tiborga olindi. Bundan

yoki

Natijada da

bundan

Ammo , bundan C=1, bo’ladi. Endi (2.1.6) formulani ixtiyoriy uchun isbotlaymiz.

Bundan

yoki da

Xuddi shuningdek,

Lekin chekli k lar uchun (2.1.4) ga asosan

tengsizlik o’rinlidir. (2.1.4), (2.1.5), (2.1.8) va oxirgi tengsizlikdan

Endi da

bo’ladi. Endi ning hosil qiluvchi funksiyasini kiritamiz:

Ravshanki,

shu bilan birga (2.1.10) qator da tekis yaqinlashuvchi, va demak, (2.1.9) ga asosan:

Bundan

yoki

Lekin (2.1.11) ga asosan c=1,demak,

Agar

ligini e’tiborga olsak,

bundan

kelib chiqadi. Shu bilan birga (2.1.6) munosabat isbotlandi.