Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan

2.2. Markov zanjiriga doir misollar

Endi Markov zanjirlarini tashkil qiluvchi tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun misollar ko’rib chiqamiz.

Misol. Butun qiymatlarni qabul qiluvchi bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bir jinsli Markov zanjirini hosil qiladi. Bu holda

ya’ni P matritsaning har bir satri boshlang‘ich taqsimotdan iborat.

Misol. –bog‘liqsiz bir xil taqsimlangan nomanfiy butun qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo‘lib, P( =k)=p_k, k=0,1,2,….. bo'lsin. U holda deb qabul qilsak, ketma-ketlik bir jinsli sanoqli Markov zanjirini tashkil qiladi. Bu holda o'tish ehtimollari

ko‘rinishga ega. Bu misolda o‘tish matritsasi

bo’lib uning har bir satri oldingi satrning elementlarini bir raqamga o‘ng tomonga surishdan hosil bo’ladi.

Misol (Diffuziya uchun Erenfestlar modeli). Fiziklar Paul va Tatyana Erenfest nomi bilan ataluvchi bu model zarrachalarni (bir-biri bilan tutashtirilgan) ikkita idishda ko‘chish jarayonini tavsiflaydi va u molekulalaming harakati jarayonida klassik mexanika nuqtayi nazaridan qaytariluvchan deb hisoblangan, qaytarilmaydigan o‘zgarishlaming (tutashtirilgan idishlarda bosimlarning tenglashishi natijasida) vujudga kelish oqibatlarini tushuntirib berish uchun taqdim etilgan.

Ikkita idishda n ta zarracha bor bo’lsin. Vaqtning har bir t=0,1,2,... momentida tasodifan va undan oldingilariga bog‘liqsiz, n ta zarrachalardan bittasi teng imkoniyatli ravishda tanlanadi va u 1/2 ehtimol bilan o’z idishida qoladi, yoki bo'lmasa 1/2 ehtimol bilan boshqa idishga o'tkaziladi. esa vaqtning t momentida birinchi idishdagi zarrachalar soni bo’lsin. U holda bir jinsli Markov zanjirini tashkil qiladi va

0
tengliklar o'rinli bo'lgani sababli, o’tish matritsasi quyidagi ko’rinishga ega:

Endi mqadamda sistemaning holatlari o'zgarishini o’rganamiz. Shu maqsadda –m-qadamda sistema i holatdan j holatga o’tish ehtimollarini ko’ramiz.

-holatlar to'plami va o'tish ehtimollari matritsasi P bo‘lgan Markov zanjiri bo‘lsin.mqadamda o‘tish ehtimollari matritsasini va vektorlarni kiritamiz, bu yerda .

2.2.1-Teorema. O’tish ehtimollari matritsasi P bo‘lgan bir jinsli Markov zanjirlari uchun ixtiyoriy bo‘lganda



o‘tish ehtimollari matritsasi bo’lgan bir jinsli bo‘lmagan Markov zanjirlari uchun esa





tengliklar o‘rinli.

Isboti. To’la ehtimol formulasiga ko‘ra, istalgan va ixtiyoriy uchun



tenglik o‘rinli, bu yerda -A matritsaning i-satridagi j-elementini bildiradi. Shunday qilib, . Bundan, induksiyaga ko‘ra, (2.1.2) formula kelib chiqadi. (2.2.2) formula ham shu kabi isbotlanadi.

Ixtiyoriy n-tartibli va stoxastik matritsalarning ko‘paytmasi yana stoxastik matritsa bo‘ladi. Haqiqatan ham, ko'paytmaning elementi nomanfiy ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan. Shu bilan biriga



ya’ni S matritsa ham stoxastik matritsa ekan.

Shunday qilib, teoremadagi va matritsalar ham stoxastik.

Misol. Bizga shunday -o’zaro bog’lanmagan, butun qiymatli tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilganki, aniqlangan bo’lsin. Ushbu tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi Markov zanjirini tashkil etadimi?