Ekonometrika

t	y	x	yx	yt	xt	x^2
t^2
1	30	100	3000	30	100	10000	1
2	35	103	3605	70	206	10609	4
3	39	105	4095	117	315	11025	9
4	44	109	4796	176	436	11881	16
5	50	115	5750	250	575	13225	25
6	53	118	6254	318	708	13924	36
∑=21	251	650	27500	961	2340	70664	91

O’zgaruvchilarning qiymatlarini normal tenglamalar sistemasiga qo’ysak u quyidagi ko’rinishni oladi:

sistemani echib, parametrlarning a = ‑5,42; b = 0,322; c=3,516 qiymatlarini topamiz va natijada quyidagi regressiya tenglamasini olamiz:

Parametr b = 0,322 y va x lar orasidagi bog’lanish kuchini ko’rsatadi. Uning qiymati bir oila a’zosiga daromadning 1foizga o’sishi bilan tendentsiya o’zgarmagan holda A mahsulotga harajatlar o’rtacha 0,322 ming so’mga oshishini bildiradi.

3-misol.

Oxirgi uch yilda hududdagi nikohlar soni haqidagi oylar bo’yicha ma’lumotlar asosida dinamik qatorning additiv modeli tuzilgan. Mos oylar uchun mavsumiy komponentalarning tuzatilgan qiymatlari jadvalda keltiriladi. 4.3-jadval

Oylar	Mavsumiy komponentalarning tuzatilgan qiymatlari	Oylar	Mavsumiy komponentalarning tuzatilgan qiymatlari
Yanvar	-1,0	Iyul	3,0
Fevral	2,0	Avgust	1,0
Mart	-0,5	Sentyabr	2,5
Aprel	0,3	Oktyabr	1,0
May	-2,0	Noyabr	-3,0
Iyun	-1,1	Dekabr	?

Trend tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega:

.

Trend parametrlarini hisoblashda haqiqiy vaqt hisobga olingan, ya’ni t=1,2,….,36.

Topshiriq:

1. 
   Dekabr oyi uchun mavsumiy komponenta qiymatini toping.
   
2. 
   Tuzilgan model asosida keyingi yilning birinchi choragi davomida qayd etilgan nikohlarning umumiy sonini prognozlang.
   

Echish

1. Mavsumiy komponentalarning bir davr ichidagi qiymatlarini yig’indisi (dinamik qatorlar additiv modelini tuzish metodikasiga asosan) nolga teng bo’lishi kerak. Bundan kelib chiqib dekabr oyi uchun mavsumiy komponentaning qiymati quyidagiga teng:

2. Additiv modelda F_t dinamik qator darajasining prognoz qiymati T_t ‑trend qiymati va S_t ‑mavsumiy komponentaning mos qiymatlari yig’indisiga teng.

Keyingi yilning birinchi choragida qayd etilgan nikohlar soni yanvar –F₃₇ , fevral ‑F₃₈ va mart ‑F₃₉ oylaridagi nikohlar soni yig’indisidan iborat.

Trend qiymatlarini hisoblash uchun masala. shartida ko’rsatilgan trend tenglamasidan foydalanamiz:

.

.



.

Mavsumiy komponentalarning mos qiymatlari:

S₁ = -1 – yanvar

S₂ = 2 – fevral

S₃ = -0,5 – mart.
Shunday qilib:

Keyingi yilning birinchi choragida qayd etilgan nikohlar soni :

2,61+5,64+3,17=11,42 ming kishini tashkil etadi.
4.3 Mustaqil ishlash uchun masalalar

1-masala.

Bank ma’muriyati jismoniy shaxslarning depozitlarini qator yillar bo’yicha dinamikasini o’rgangan(taqqoslama baholarda, mln. doll.). Natijalar quyidagicha bo’lgan:

Yillar, t	1	2	3	4	5	6	7	Σ=28
Jismoniy shaxslar depozitlari, x	2	6	7	3	10	12	13	Σ=53

Yana, ushbu yig’indi ham ma’lum: Σx²=511.

Topshiriq:

1. 
   Chiziqli trend tenglamasini tuzing va uning parametrlarini izohlab bering.
   
2. 
   Chiziqli trend uchun determinatsiya koeffitsientini aniqlang.
   
3. 
   Bank ma’muriyati jismoniy shahslar depozitlarining o’rtacha yillik mutloq o’sishi 2,5 mln.dollordan kam bo’lmasligini tahmin qilgan. Siz olgan natija bilan ushbu tahmin tasdiqlanadimi – yo’qmi?
   

2-masala.

Fermer ho’jaligida bug’doy hosildorligi bo’yicha 8 yillik ma’lumotlar berilgan:

Yillar, t	1	2	3	4	5	6	7	8
Bug’doy hosildorligi, yt(ts/ga)	10,2	10,7	11,7	13,1	14,9	17,2	20,0	23,2

Topshiriq:

1. 
   Trend tenglamasi shaklini tanlashni asoslab bering.
   
2. 
   Trend tenglamasi parametrlarini hisoblang.
   
3. 
   Bug’doy hosildorligini keyingi yil uchun prognoz qiling.
   

3-masala.

Regionda ishsizlik darajasi y_t (%) bo’yicha 10 oylik ma’lumotlar berilgan:

Yillar, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ishsizlik darajasi, yt (%)	8,8	8,6	8,4	8,1	7,9	7,6	7,4	7,0	6,9	6,7

Topshiriq:

1. 
   Ushbu qator darajalarining birinchi va ikkinchi tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsientlarini aniqlang.
   
2. 
   Trend tenglamasini tanlanishini asoslang va uning parametrlarini aniqlang.
   
3. 
   Olingan natijalarni izohlang.
   

4-masala.

Quyidagi dinamik qator berilgan bo’lsin:

t	1	2	3	4	5	6	7	8
xt	20	...	...	...	...	...	...	10

Bundan tashqari yana lar ham ma’lum.

Topshiriq:

1. 
   Qatorning darajalarini birinchi tartibli avtokorrelyatsiya koeffitsientini aniqlang.
   
2. 
   Tadqiq qilinayotgan davriy qator tendentsiyaga egaligini aniqlang.
   

5-masala.

2000-2017 yillarda ikki mamlakat o’rtasidagi eksport, import va tashqi savdo aylanmasi jadvalda keltirilgan ma’lumotlar bilan tavsiflanadi:

4.4‑jadval

Yillar	Birinchi mamlakat, mln. doll.				Ikkinchi mamlakat, mln. doll.
	Eksport	Import	Tashqi savdo aylanmasi	Eksport		Import	Tashqi savdo aylanmasi
2000	117	131	248	562		533	1095
2001	129	126	255	609		581	1190
2002	146	144	290	683		633	1316
2003	166	164	330	846		811	1657
2004	204	206	410	1116		1109	2225
2005	209	205	414	1065		1061	2126
2006	236	247	483	1266		1261	2527
2007	257	278	535	1474		1499	2973
2008	281	280	561	1540		1570	3110
2009	328	332	660	1798		1866	3664
2010	366	386	752	2026		2125	4151
2011	405	419	824	2286		2357	4643
2012	431	412	843	2640		2694	5334
2013	450	434	884	2924		2864	5788
2014	498	496	994	3337		3277	6614
2015	549	547	1096	3479		3379	6858
2016	532	530	1062	3476		3201	6677
2017	540	539	1079	3479		3387	6866

Topshiriq:

1. 
   Har bir qatorning dinamikasi grafigini chizing.
   
2. 
   Turli shakldagi trendlar parametrlarini hisoblang.
   
3. 
   Har bir trend sifatini approksimatsiyaning o’rtacha hatoligi, chetlanishning chiziqli avtokorrelyatsiya koeffitsienti orqali baholang.
   
4. 
   Trendlarning statistik ahamiyatliligini Fisherning F- kriterysi orqali, trend parametrlari axamiyatliligini Styudentning t-kriteriysi orqali baholang.
   
5. 
   Trendning eng yaxshi shaklini tanlang va u bo’yicha 2018 yilga prognoz qiling.
   
6. 
   Prognoz hatoligini baholang va muhimlik darajasi 0,05 uchun prognozning ishonch oralig’ini tuzing.
   

6-masala.

Mamlakatning 5 yillik chakana savdo aylanmasining choraklar bo’yicha ma’lumotlari berilgan.

4.5‑jadval

Chorak raqami	Tovar aylanmasi, avvalgi yilga nisbatan, %	Chorak raqami	Tovar aylanmasi, avvalgi yilga nisbatan, %
1	100,0	11	98,8
2	93,9	12	101,9
3	96,5	13	113,1
4	101,8	14	98,4
5	107,8	15	97,3
6	96,3	16	102,1
7	95,7	17	97,6
8	98,2	18	83,7
9	104,0	19	84,3
10	99,0	20	88,4

Topshiriq:

1. 
   Dinamik qatorning grafigini tuzing.
   
2. 
   Dinamik qatorning multiplikativ modelini tuzing.
   
3. 
   O’rtacha mutloq hatolik va o’rtacha nisbiy chetlanish ko’rsatkichlari orqali model sifatini baholang.
   

7-masala.

Regionning ohirgi uch yillik elektrenergiya ist’emoli haqidagi oylik ma’lumotlar (mln.kVt/soat) asosida dinamik qatorning additiv modeli tuzilgan. Mos oylar uchun mavsumiy komponentalarning tuzatilgan qiymatlari quyidagi jadvalda keltirilgan:

4.6‑jadval

yanvar	+25	may	-32	sentyabr	+2
fevral	+10	iyun	-38	oktyabr	+15
mart	+6	iyul	-25	noyabr	+27
aprel	-4	avgust	-18	dekabr	?

Trend teglamasi quyidagi ko’rinishga ega:

Topshiriq:

1. 
   Dekabr oyi uchun davriy komponenta qiymatini toping.
   
2. 
   Tuzilgan model asosida keyingi yilning birinchi choragi davomida kutilayotgan elektroenergiya ist’moli miqdorini prognoz qiling.
   

8-masala.

2012-2017 yillar uchun choraklar bo’yicha eksport hajmi haqida ma’umotlar berilgan.

4.7‑jadval

Chorak raqami	Eksport, mln. doll.	Chorak raqami	Eksport, mln. doll.
1	4087	13	6975
2	4737	14	6891
3	5768	15	7527
4	6005	16	7971
5	5639	17	5875
6	6745	18	6140
7	6311	19	6248
8	7107	20	6041
9	5741	21	4626
10	7087	22	6501
11	7310	23	6284
12	8600	24	6707

Topshiriq:

1. 
   Dinamik qatorning grafigini tuzing.
   
2. 
   Dinamik qatorning additiv va multiplikativ modellarini tuzing.
   
3. 
   Har bir modelning o’rtacha mutloq hatolik va o’rtacha nisbiy chetlanish ko’rsatkichlari orqali sifatini baholang. Eng yaxshi modelni tanlang.
   

9-masala.

Sotilgan benzin hajmi (y_t) ni iste’mol bahosi (x_t) dinamikasiga bog’liqligi o’rganilgan. Jadvalda ohirgi 6 chorakda olingan ma’lumotlar keltirilgan:

4.8‑jadval

Ko’rsatkich	1-chorak	2-chorak	3-chorak	4-chorak	5-chorak	6-chorak
1-chorakka nisbatan iste’mol bahosi indeksi	100	104	112	117	121	126
Chorak davomida o’rtacha 1 kunda sotilgan benzin hajmi, ming l.	89	83	80	77	75	72

Yana quyidagilar ma’lum:

Topshiriq:

1. 
   Sotilgan benzin hajmini iste’mol bahosi indeksiga bog’liqligi modelini vaqt omilini kiritib tuzing.
   
2. 
   Tuzilgan modelni parametrlarini izohlab bering.
   

10-masala.

2009 – 2017 yillar davomida go’sht mahsulotlarining yillik iste’moli hajmi va aholi jon boshiga daromadlari haqidagi ma’lumotlar quyidagi jadvalda berilgan:

4.9‑jadval

Ko’rsatkich	2009 y.	2010 y.	2011 y.	2012 y.	2013 y.	2014 y.	2015 y.	2016 y.	2017 y.
Iste’mol, kg.	46	50	54	59	62	67	75	86	100
Daromad, doll.	53	57	64	70	73	82	95	110	127

Topshiriq:

1. 
   lar ma’lum bo’lsa, vaqt omilini kiritib, regressiya tenglamasini tuzing.
   
2. 
   Olingan natijalarni izohlab bering.
   

11-masala.

Kompaniyaning oxirgi 10 yillikda oddiy aktsiyalar bo’yicha to’langan dividentlar darajasi va asosiy fondlarini o’rtacha yillik narxi haqidagi ma’lumotlar jadvalda berilgan.

4.10‑jadval

Ko’rsatkich	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Asosiy fondlarning o’rtacha yillik narhi, mlrd.so’m	72	75	77	77	79	80	78	79	80	82
Oddiy aktsiyalar bo’yicha dividentlar, %	4,2	3,0	2,4	2,0	1,9	1,7	1,8	1,6	1,7	1,7

Topshiriq:

1. 
   Regressiya tenglamasi parametrlarini birinchi tartibli ayirmalar usulida aniqlang va ularni izohlab bering. Bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi sifatida oddiy aktsiyalar bo’yicha dividenlarni oling.
   
2. 
   Nima sababdan regressiya tenglamasini ikkinchi tartibli ayirmalar usuli bilan emas, birinchi tartibli ayirmalar usuli bilan tuzildi?
   

12-masala.

Viloyatning sanoat korxonasida mehnat unumdorligi va mehnatni elektr bilan qurollanganligi haqida 10 yillik (2008‑2017yy.) ma’lumotlar berilgan.

4.11‑jadval

Ko’rsatkich	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017
1 ishchiga o’rtacha yillik ishlab chiqarilan mahsulot, sh.b., y	28,7	31,7	31,7	32,6	33,9	31,2	33,3	42,6	46,0	49,9
Elektr bilan qurollanganlik,, kvt s/kishi, x	3,33	3,39	3,50	3,63	3,81	3,84	3,88	4,07	4,12	4,17

Analitik tekislash natijasida har bir qator uchun quyidagi trendlar tenglamalari olingan:

a) mehnat unumdorligi davriy qatori uchun:

(t=-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9);

b) elektr bilan qurollanganlik dinamik qatori uchun:

(t=-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9).
Topshiriq:

1. 
   Qatorning berilgan darajalarini, elektr bilan qurollanganlik darajasi uchun birinchi tartibli ayirmani va mehnat unumdorligi uchun ikkinchi tartibli ayirmani, asosiy tendensidan chetlanishni qo’llab dinamik qatorlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientini aniqlang.
   
2. 
   Olingan natijalarning farqlarini tushuntirib bering.
   
3. 
   Har bir davriy qatorda avtokorrelyatsiyani hisoblang.
   

13-masala.

Savdo firmasi administratsiyasi savdo hajmi bilan kompaniya ishchilari orasidagi ayollarning ulushi orasida bog’lanish bor – yo’qligini bilish maqsadida oxirgi yigirma yilda yig’ilgan ma’lumotlar jadvalda keltirilgan.

4.12‑jadval

Ko’rsatkich	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Savdo hajmi, mlrd.so’m, y	378	385	393	403	414	428	444	462	481
Kompaniya ishchilari orasida ayollarning ulushi,%,xt	25	24	27	30	31	29	31	33	34

Yana quyidagilar ma’lum:

Har bir qator uchun trendlar tenglamasi quyidagilardan iborat:

a) x_t qator uchun

b) y_t qator uchun

Topshiriq:

1. 
   O’rganilayotgan qatorlar orsidagi korrelyatsion bog’lanishni ularning darajalari bo’yicha aniqlang.
   
2. 
   O’rganilayotgan qatorlar orsidagi korrelyatsion bog’lanishni mos ravishda yuqorida berilgan chiziqli va parabolik trendlardan chetlanishi bo’yicha aniqlang.
   
3. 
   1-va 2-punktda olingan korrelyatsion bog’lanishlaridan birini tanlab savdo hajmi va kompaniya ishchilari orasidagi ayollar salmog’ini ifodalovchi davriy qatorlar orasidagi bog’lanish zichligini tavsiflang. Tanlovingizni asoslab bering.
   

14-masala.

Jadvalda Brazilyadan keltirilgan kakaoning o’rtacha yillik narhi (ming so’m) haqidagi gipotetik ma’lumotlar keltirilgan:

4.13-jadval

Yillar	Narh	Yillar	Narh	Yillar	Narh	Yillar	Narh
1991	29,4	1998	183,5	2005	105,3	2012	47,5
1992	23,5	1999	153,5	2006	94,9	2013	45,0
1993	26,2	2000	140,7	2007	92,0	2014	44,5
1994	48,5	2001	107,1	2008	83,9	2015	55,9
1995	73,4	2002	87,5	2009	72,7	2016	60,5
1996	56,6	2003	68,3	2010	56,9	2017	64,1
1997	77,0	2004	83,1	2011	49,1	2018	71,0

Topshiriq:

1. 
   Turli darajadagi avtokorrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblang va eng yahshi lagni tanlang.
   
2. 
   Avtoregressiya funktsiyasini tuzing.
   
3. 
   Uch yilga prognoz qiymatini aniqlang.
   

15-masala.

Jadvalda hudud aholisining 2014-2017 yillar choraklari bo’yicha pullik hizmatlar hajmi dinamikasini tavsiflovchi ma’lumotlar kelitrilgan:

4.14‑jadval

Chorak raqami	Aholining pullik hizmatlar hajmi, mln.so’m	Chorak raqami	Aholining pullik hizmatlar hajmi, mln.so’m
1	2428	9	3528
2	2010	10	3838
3	2981	11	3916
4	3074	12	4142
5	2893	13	4441
6	3198	14	5583
7	3250	15	6230
8	3495	16	6494

Topshiriq:

1. 
   Dinamik qator avtokorrelyatsiya funktsiyasini tuzing.
   
2. 
   Avtokorrelyatsiya funktsiyasining korrellogrammasini tuzing.
   
3. 
   Berilgan qatorni tarkibini tavsiflab bering.