Elektronika va asbobsozlik

6-MA’RUZA.


Mavzu: Kristallardagi elektronlarning energetik zonalari.


REJA:

1. 
   Kristallardagi elektronlarning energetik zonalari.
   
2. 
   Kronning va Penni usuli.
   

Tayanch so‘zlar va iboralar:

Elektron, to‘ldirilgan xona, ruxsat etilgan zona, man qilingan zona, energetik satx,to‘ldirilgan zona

Izolyatsiyalangan atomni qarab olaylik. Atom yadrodan va uning atrofida ma’lum energetik xolatlarda turuvchi elektronlardan iborat. Bu elektronlarning xolatlari 4 ta kvant soni bilan xarakterlanadi: n – bosh kvant soni, l – orbital kvant soni, m – magnit kvant soni va s – spin. Ular n=1, 2, 3 …; l = 0, 1, 2, 3 …., n – 1; m = 0, ±1, ±2 …. s ± qiymatlarni qabul qiladi. Spektral analizda l = 0 da s xolat, l = 1 da r- xolat l = 2 da d- xolat, l = 3 da (Si) elementida 14 elektron bo‘lib, normal sharoitda ular 1s²2s²2p⁶3s²3p² xolatlarda bo‘ladi. Xar bir xolat 2(2l + 1) elektronlarning xolatlaridan iborat, ya’ni 2(2l + 1) karrali «aynigan» bo‘ladi. Boshkacha kilib aytganda, s- xolatidagi 2 ta elektron bir xil energiyaga, p-xolatdagi 6 ta elektron xam bir xil energiyaga ega bo‘ladi va x.k.

Yuqorida aytilganlardan ko‘rinadiki, atomlardagi elektronlar ixtieriy energiyaga ega bo‘lmasdan diskret qiymatlarni qabul qilar ekan. Izolyatsiyalangan atomda xar bir xolat energetik sxemada bitta energetik satxni tashkil qiladi.
Endi atomlarni bir-biriga yakinlashtiraylik. Ular bir-biriga yaqinlashgan sari o‘zaro ta’sirlari orta boradi. Atomlar orasi juda xam yakin bo‘lsa, xar bir atom ko‘shni atomlar hosil qilgan juda kuchli elektromagnit maydonda turgan bo‘lib, u bilan uz maydoni orqali ta’sirlashadi. Natijada elektronlarning energetik satxlari parchalanadi. Agar N ta atomni bir-biriga yakinlashtirsak, elektronlarning energetik satxlari, elektronning xolatlari «aynigan» bo‘lmasa, N ta energetik satxga parchalanadi. Bu N ta energetik satxlar to‘plami energetik zonani tashkil qiladi. Atomdagi elektronlar 2(2l+1) qarrali «aynigan» xolatda bo‘lsa, kristallning energetik sxemasida energetik zona 2(2l+1) energetik satxlarda tashkil topgan bo‘lishi kerak. Lekin Paul prinsipiga ko‘ra energetik zona (2l+1) N energetik satxda tashkil topgan bo‘ladi. Bulardan (2l+1) tasi bir xil energiyani qabul qilsa, energetik zona (2l+1) qarralli «aynigan» xolatda bo‘ladi. Demak, qattiq jismlarda izolyatsiyalangan atomlardagi aloxida energetik satxlar o‘rniga, energetik zonalar xosil bular ekan. Bu energetik zonalar bir-birlari bilan man qilingan zonalar bilan ajralgandir.
Energetik zonadagi energetik satxlar orasidagi energetik oraliq 10^-22 ev bo‘ladi. Bundan ko‘rinadiki, energetik satxlar amalda uzluksiz spektrni berar ekan. Bu esa, uz navbatida, elektronni bitta zona bilan chegaralangan energetik satxlarda xarakat qila olishini ko‘rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, berilgan zonadagi elektronlar bir atomdan ikkinchi atomga o‘ta olib, xamma atomlar uchun umumiy bo‘lib qoladi.
Energetik zonadagi xamma energetik satxlar elektronlar bilan to‘lgan bo‘lsa, bunday zonani t u l d i r i l g a n z o n a deb yuritiladi. Zonalarning energetik satxlar bo‘yicha elektronlarning taksimlanishi kristallarning elektr xususiyatiga katta ta’sir kursatadi. Energetik zonalarni tashkil qilgan energetik satxlarda elektronlar turishi mumkin bulganligi uchun ularni ruxsat etilgan zonalar deb xam yuritiladi. Ikkita zona orasidagi energetik oraliqda elektronlarning turishi mumkin bo‘lgan energetik satxlar bo‘lmagani sababli bunday energetik oraliqni man qilingan zona deb yuritiladi. Boshqacha qilib aytganda, elektron man qilingan zonadagi energiya kiymatlarini qabul qila olmaydi.

Kroning va Penni usuli

Endi kristallardagi elektronlar deyarli erkin elektronlar bo‘lib, ular davriy potensial maydonda xarakat qiladi, deb qaraylik. U xolda qattiq jismlardagi elektronlarning xarakati Shryodinger tenglamasi orqali ifodalanadi. Bir ulchovli fazoda bu tenglama kuyidagicha yoziladi:
+ (ε – U) ψ = 0, (6.1)

bunda ψ – elektronning kristallardagi to‘lqin funksiyasi, ε – elektronlar energiyasi, U – elektronlarning davriy maydonda olgan potensiyaal energiyasi. Bu tenglamani umumiy xolda integrallash mumkin emas. Shuning uchun soddalashtirilgan usul bilan yechamiz.

Bizining asosiy maksadimiz elektron energiyasining xususiy kiymatini aniqlashdan iboratdir. Buning uchun kristallardagi xar bir atom, Kronning va Penni metodiga asosan kengligi α bo‘lgan to‘g‘ri burchak potensial chukurni xosil qiladi deb qarab, elektronning shu chuqurlikda potensial energiyasi U=0 deb olamiz. Atomlar esa bir-birlari bilan kengligi b bulgan tug‘ri burchakli potensial barer U₀ bilan ajralgan deb qaraymiz. U xolda (3.1) tenglama potensial barer uchun


- (U₀ – ε) ψ = 0 (6.2)

ko‘rinishi, potensial chukurlik uchun

+ εψ = 0 (6.3)
ko‘rinishi oladi. (3.2) va (3.3) tenglamalarni kuyidagi sodda shaklga keltirib yozamiz:

ψ₁ – x²ψ₁ = 0, bunda x = (6.4)

ψ₂ + r² ψ₂ = 0, bunda r = (6.5)

Bu tenglamalarning yechimini kuyidagi kurinishda izlaymiz: