Elektronika va asbobsozlik

Simmetriya tekisligi. Agar kristallning bir yarmi kandaydir kuzgusimon tekislikda akslanganda ikkinchi yarmi bilan ustma-ust tushsa, u xolda bunday tekislik kristallning simmetriya tekisligi deb ataladi. 160-rasmda tasvirlangan figura uchun 1-1 va 2-2 tekisliklar shunday simmetriya elementlari bo‘ladi: figuraning tekislikning ikki tomondagi qismlari bir-birining kuzgudagi tasviri (simmetrik akslanish) bo‘ladi.
Biroq figurani ikkiga bo‘luvchi 3-3 tekislik simmetriya tekisligi emas, chunki bu tekislikda akslanishdan figuraning bir yarmi ikkinchi yarmi bilan ustma-ust tushmaydi.
Simmetriya markazi. Agar kristallda shunday nuqta bo‘lsaki, kristallni xosil qilgan ixtiyoriy zarraning bu nuqtaga o‘tkrzilgan radius- vektori r ni unga qarama-qarshi ― r vektorga almashtirganda kristall dastlabki (boshlangich) xolatidan farq qilmaydigan xolatga utsa bu nuqta
Simmetriya markazi (yoki inversiya markazi) deb ataladi va bu kristallning simmetriya elementi bo‘ladi.
Burilma – akslanma simmetriya uki. Bu simmetriya elementi uchun bir vaktda ikki amal: o‘q atrofida burish va o‘qqa perpendikulyar tekislikda simmetrik akslantirish amallari bajariladi.Demak agar kristallni o‘q atrofida biror burchakga burib (8-rasm)va so‘ngra bu o‘qqa perpendikulyar tekislikda simmetrik akslantirilganda kristall o‘z-o‘ziga ustma ust tushsa,bu kristall burilma- akslanma simmetriya o‘qiga ega deyiladi. Agar burilish burchagi ga teng bo‘lsa, u xolda n burilma – akslanma o‘qning tartibini bildiradi. Xar kanday kristallning simmetriyasi biz sanab o‘tgan to‘rtta simmetriya elementi yordamida tafsiflanishi mumkin.
Simmetriya sinflari. Simmetriyaning biz sanab o‘tgan elementlari turli kristallarda turlicha kombinsiyada uchrashi mumkin. Boshqacha aytganda, turli kristallar bir necha simmetriya elementlariga ega bo‘lishi mumkin. Ravshanki, jismning simmetriya elementlari qancha ko‘p bo‘lsa, bu jism shuncha ko‘p simmetriklikka ega bo‘ladi. Sharning simmetriya o‘qlari, simmetriya tekisliklari va simmetriya markazi cheksiz sonda bo‘lgani uchun u eng simmetrik figuradir.
Batafsil tekshirishlarda (buni A.V.Gadolin 1867 yilda o‘tkazgan) xammasi bo‘lib simmetriya elementlarining mumkin bo‘lgan xar bir shunday kombinatsiyasi simmetriya sinfi deb ataladi.
Tabiatda 32 simmetriya sinfining biriga tegishli bo‘lgan kristallar mavjud bo‘lishi mumkin, bu narsa tajribada tasdiklangan. Masalan, birgina simmetriya o‘qiga ega bo‘lgan kristallar besh (32 dan) simmetriya sinfini tashkil qiladi, jumladan simmetriya o‘qidan tashqari yana unga perpendikulyar bo‘lgan ikkinchi tartibli o‘qqa xam ega.
Faqat simmetriya markazigagina ega bo‘lgan kristallar aloxida simmetriya sinfini tashkil qiladi va xokazo.
Kristallografiyada biz aytgan 32 simmetriya sinfini 7 simmetriya sistemasiga (yoki sinoginiyaga) ajratib o‘rganiladi va ular simmetriya tartibining ortib borishiga qarab quyidagicha ataladi:
ikki simmetriya sinfini birlashtiruvchi triklin sistema;
uch sinfini o‘z ichiga olgan monoklin sistema;
uch sinfini o‘z ichiga olgan rombik sistema;
yetti sinfini birlashriruvchi trigonal sistema;
besh sinfini birlashtiruvchi geksogonal sistema;
yetti sinfini uz ichiga olgan tetragonal sistema;
eng simmetrik bo‘lgan va besh sinfini birlashtirgan kubik sistema.
Brave panjarasi. Biz kurib o‘tgan simmetriya elementlari va ularning sinflari kristall jismlarga tegishli edi. Bu simmetriya elementlari kristall jismning butunligicha olgandagi simmetriyasini, ya’ni makroskopik simmetriyani xarakterlaydi.
Yana kristall panjaraning tuzilishi masalaisga qaytaylik.
Yukorida biz translyatsiya yo‘li bilan panjarani o‘z-o‘ziga ustma-ust tushirish (dastlabki vaziyatdan farq kilmaydigan vaziyatga keltirish) mumkin ekanligi xakida gapirgan edik, parallel ko‘chirish kerak edi. Kristall panjara uchun translyatsiya asosiy simmetriya elementi xisoblanadi.
Xar kanday kristall panjara, ko‘rsatib o‘tilganidek, muntazam taxlangan parallelepipedlar-elementar yacheykalar tarzida tasvirlanishi mumkin. Panjarani tashkil qilgan barcha elementar yacheykalarning shakli va xajmi bo‘yicha bir xil ekanligi va ularninng xar birida bir xil sondagi atomlar bo‘lishi ravshan. Elementar yacheykalarninng barcha ularda birday atomlar yoki atomlar gruppasi joylashgan ; shuninng uchun bu uchlar bir-biriga ekvivalent bo‘lib, ular panjara tugunlari bo‘ladi.
Bu tugunlarning xar biri ixtiyoriy boshkasi bilan panjara davrlaridan biriga xar biri ixtiyoriy boshkasi bilan panjara davrlaridan biriga teng bulgan masofaga parallel kuchirish yuli bilan ustma-ust tushirish xam mumkin. Birok bu tugnlar panjarada tanxo (yagona) emas. Panjarada shunday nuktalar xam bulishi mumkinki, ular kristallning bir butunligiga xos bulgan simmetriya elementlari, ya’ni buri shva akslantirish yo‘li bilan ustma-ust tushirish xam mumkin.
Boshqacha aytganda, kristall panjarada parallel ko‘chirishlar makroskopik simmetriya elementrlari bilan kombinatsiyalangan xolda uchrashi mumkin. Masalan, kristallning biror simmetriya elementlari, ya’ni burish va akslantirish yo‘li bilan ustma-ust tushirish xam mumkin.
Boshqacha aytganda, kristall panjarada parallel ko‘chirishlar makroskopik simmetriya elementlari bilan kombinatsiyalangan xolda uchrashi mumkin. Masalan, kristallning biror simmetriya o‘ki yoki simmetriya tekisligi bo‘lsa, u xolda ularni panjara davriga teng masofaga parallel ko‘chirish (translyatsiya) yuli bilan bunday uzaro parallel simmetriya uklari va shunga mos xolda simmetriya tekisliklarini cheksiz kuplab hosil qilish mumkin.
Bundan tashkari, translyatsiya va bu translyatsiya uynalishi bilan ustma-ust tushgan o‘q atrofida burish bilan yangi simmetriya elementiga kelish mumkin, bu element vint o‘qi deb ataladi.
Shunga uxshash, agar panjaraning nuktasi boshqa nuqtasi bilan anna shu nuqtani translyatsiya qilish va uni shu translyatsiya yo‘nalishiga parallel tekislikdan akslantirish yo‘li bilan ustma-ust tushirilishi mumkin bo‘lsa, u xolda simmetrik sirpanish tekisligi deb atalgan yangi simmetriya elementi yuzaga keladi. Faqat parallel ko‘chirish (translyatsiya) yo‘li bilan bir-biriga ustma-ust tushirish mumkin bo‘lgan, ekvivalent tugunlar tuplami kristallning translyatsiya panjarasi yoki Brave panjarasi deb atalgan panjarani hosil qiladi.
Binobarin, Brave panjarasi panjara tugunlaridan kandaydir bittasini uchala yo‘nalish bo‘yicha parallel ko‘chirish yo‘li bilan yasalgan parallelepipeddan iboratdir. Bunday yunalishlar (koordinata o‘qlari) sifatida kristallning simmetriya o‘qlariga parallel yoki uning simetriya tekisliklariga perpendikulyar yo‘nalishlar tanlanadi. Kristallografiyada odatda bu yo‘nalishlarni kristallografik o‘qlar sifatida olinadi. Shu yo‘l bilan yasalgan parallelepipedlarda ekvivalent tugunlar (atomlar) faqat uchlaridagina emas, shuningdek yoklarning markazida va diagongal tekislikning markazida joylashishi mumkin.
Atomlar yoklarning uchlarida jrylashgan xolda Brave panjarasi yoqlari markazlashgan deb, yoqlarning markazida va dioganal tekislikning markazida joylashgan xolda xajmiy markazlashgan panjara deb ataladi.
Brave panjarasi qirralarining uzunligi a, b, c va ular oriasidagi burchaklarining nisbatlari turlicha bo‘lishi mumkin, degin savol tug‘iladi.
Xammasi bo‘lib 14 xil Brave panjaralari bor ekanligini ko‘rsatish mumkin. Bu elementar parallelepipedlar yasaladigan koordinata o‘klari tanlangani uchun Brave panjaralaridan xar biri biz yukorida ko‘rsatib o‘tgan yetti kristall sistemaning biriga tegishli bo‘ladi deyish mumkin.8-rasmda Brave panjaralarining barcha 14 elementar parallelepipedi ular simmetriyasining ortib borish tartibida kursatilgan. Birinchi urinda eng kam simmetrik triklin panjara l kursatilgan, bu panjarada tugunlar kirralarining uzunligi ixtiyoriy a ≠ b ≠ c va ular orasidagi burchaklar ixtiyoriy α ≠ β ≠ γ ≠ 90⁰ burgan parallelepiped uchlarida joylshgan. Sungra: oddiy monoklin 2, yoklari markazlashgan monoklin 3, oddiy rombik 4, asosi markazlashgan rombik 5, xajmiy markazlashgan rombik 6, yoqlari markazlashgan rombik 7 panjaralar ko‘rsatilgan.
Geksagonal panjara 8 da tugunlar muntazam olti yoqli prizmalarning uchlari va ularning oltiburchakli asoslari markazlarida joylashgan.

10-rasm

undan keyin rombedrik 9 Brave panjarasi joylashadi, uning elementir parallelepipedi fazoviy diogonal buyicha cho‘zilgan yoki siqilgan kub (rombedr) ko‘rinishida; so‘ngra tetogonal oddiy 10, xajmi markazlashgan tetrogonal 11 panjaralar ko‘rsatilgan.

Maksimal simmetriya-kubik simmetriyaga ega bo‘lgan sistemalarga uch turdagi Brave panjarasi: oddiy kubik 12, xajmiy markazlashgan 13 va yoklari markazlashgin 14 panjaralar kiradi.
Yuqorida aytib o‘tilganidek, Brave panjarasi kristall panjaraning tamomila aniq tuguni uchun uni uchala kristallografiya uqlari buylab parallel ko‘chirish yuli bilan yasaladi.
Agar boshlangich «dastlabki» tugun sifatida biror boshqa tugun «atom» tanlansa, boshqacha Brave panjarasi hosil bo‘ladi. Bundan shunday xulosa chiqadi: bir–biriga nisbatan ko‘chirilgan bir necha Brave panjalari sistemasidan iborat kristall panjaralar bo‘lishi mumkin. Masalan, osh tuzi NaCl ning kristall panjarasi ikki Brave panjarasidan iborat, bulardan biri Na ionlari «qora to‘garakchalar» va biri Cl ionlar «oq to‘garakchalar» ga mos keluvchi xar biri aloxida yoqlari markazlashgan kubik Brave panjarasidir. Bu panjaralarning ikkalasi bir-biriga nisbatan kub qirrasining yarmiga teng masofaga ko‘chirilgan .
Fazoviy gruppalar. Kristall panjaraning to‘la simmetriyasi ,ya’ni panjarani hosil qilgan atomlarning joylashish simetriyasi yuqorida aytib o‘tganimizdek, translyatsiya simmetriyasi va burilish xamda akslantirish bilan bog‘lik bo‘lgan simmetriya elementlarining majmui bilan aniqlanadi. bunday kombinatsiya vint o‘qi va simmetrik sirpanish tekisligi singari simmetriya elementlari majmui bu panjaraning fazoviy gruppasi deb ataladi.
Kristall panjaraning fazoviy gruppasini aniqlash uchun uning (kristall panjaraning) Brave panjarasini va burish xamda akslantarish bilan bog‘liq bo‘lgan simmetriya elementlarini, ya’ni simmetriya elemetlarini, ya’ni simmetriya tekisliklari va o‘qlarining joylashishini aniqlash kerak. Xar kanday fazoviy gruppa 32 kristall sinfining biriga tegishli bo‘lishi mumkin.
Batafsil tekshirish anna shu kristall sinflarga taqsimlanadigan xammasi bo‘lib 230 xil fazoviy gruppalar mavjud ekanini ko‘rsatadi. Bu 230 fazoviy gruppalar birinchi marta mashxur kristallograf Ye.S.Fyodorov tomonidan aniqlangan.
Kristalldagi tekisliklar va yo‘nalishlarning simvolik belgilanishi. Kristallarning anizatropiyasi kristalldagi turli tekisliklar (yoklar) va yo‘nalishlarni (masalan, qirralarni) farqlash va ularni ma’lum tarzda belgilash zaruratini tug‘diradi. Buning uchun maxsus koordinitlar sistemasidan foydalaniladi, bu sistema kristall bilan shunday bog‘langanki, koordinata o‘qlari odatda simmetriya o‘qlariga prallel yoki immetriya tekisliklariga perpendikulyar bo‘ladi, koordinata boshi esa panjara tugunlarining biri bilan ustma-ust tushadi. Bunday sistemada koordinatlar shu yo‘nalishdagi atomlararo masofalarga teng birliklarda o‘lchanadi (bu masofalar panjara doimiylar yoki panjara parametrlari deb ataladi). Biror tekislikning vaziyati bu tekislikning ixtiyoriy uch nuqtasi, masalan, tekislikning uchala koordinata o‘qlari bilan kesishadigan nuqtalari orqali bir qiymatli aniqlanadi.
I, II, III lar koordinata o‘qlari bo‘lsin va S tekislikni aniqlash kerak deylik. Agar, masalan, tekislik I o‘qni 4 birlikka teng masofada (ya’ni I o‘q yo‘nalishida to‘rt atomlararo masofada), II o‘qni 1 birlikka va III o‘qni 2 birlikka teng masofada kelsa, u xolda tekislikning vaziyati uchta son: 4, 1, 2 bilan berilari.
Biroq kristalldagi tekisliklarni bu sonlar bilan emas, maxsus Miller indekslari bilan belgilash qabul qilingan, bu indekslar shunday topiladi: tekislikning koordinata uqlari bilan kesishadigan uchta nuqtasining koordinatlari aniqlanadi (panjara doimiylari birliklarida). Olingan sonlarning teskari kiymatlarini bitta maxrajga keltiramiz va maxrajni tashlab yuboramiz. Kasrning suratlari Miller indekslarini beradi. Kristallografik belgilar.
Yuqorida aytganimizdek, kristallar ma’lum simmetriyaga ega bo‘lib, ularning xossalari barcha yo‘nalishlar bo‘ylab bir xil bo‘lmaydi. Shu sababli kristallarning xossalarini aniqlashda ularning qaysi yo‘nalish bo‘ylab tekshirilishi katta axamiyatga ega. Bu esa kristallarning fazoviy yo‘nalishlarini bir-biridan farq etish zaruriyatini tug‘diradi.
Kristallar panjaraning tugunlaridan birida koordinata boshi joylashgan va x, y, z o‘qlar esa tugunlar qatori bo‘ylab yo‘nalgan bo‘lsin. Koordinata boshidan biror tomonga qarab yunalgan vektorni olaylik. Bu vektorning o‘qlardagi proeksiyalari x₀= m`a, y<sub>0</sub> = n`b, z₀ = p`c bo‘lsin. Bunda a, b va s o‘qlardagi tugunlar orasidagi masofa, m`, n` va p` esa ixtiyoriy sonlar. Endi shunday r son topamizki, bunda va nisbatlar eng kichik m, n va r butun sonlarni hosil qilsin. U xolda m, n va r – yo‘nalish indekslari deb atalib, [mnp] bilan belgilanadi. Masalan, kubik kristall panjaraning +x o‘qi yo‘nalishi indeksi [100], +y o‘qi yo‘nalishi indeksi [010], +z o‘qi yo‘nalishi indeksi esa [001] bo‘ladi. Kub diagonalining musbat kvadratidagi yo‘nalishi [111] indeks bilan belgilanadi. Manfiy yo‘nalish indekslari tepasiga chiziqcha ko‘yiladi, masalan, - x yo‘nalishi indeksi [100] bo‘ladi.

11-rasm

Kristallarda atomlar joylashgan parallel tekisliklari uchta son – Miller indekslari orqali xarakterlash mumkin. Koordinata boshidan o‘tgan ixtieriy tekislik olib, unga parallel tekislik o‘tkazaylik. Bu tekislik x, y, z larni x₀, y₀, z₀ nuktalarda kesib o‘tsin. Bu nuktalarning koordinatlari panjara doimiysi birliklarida o‘lchanadi, masalan, kubik panjara uchun x=0,5 a, y=1,5 a, z=1 a bo‘lishi mumkin. U xolda shunday s son topaylikki, va sonlar eng kichik butun sonlar qatorini hosil qilsin. Biz kurgan misol uchun s=3a bo‘lib, bo‘ladi. Mana shu xosil bo‘lgan h, r va l butun sonlar qatori Miller indekslari deyiladi va [hrl] bilan belgilanadi. Rasmdagi tekisliklar va ularning indekslari ko‘rsatilgan.

Agar tekislik biror o‘q bilan cheksizlikda kesishsa, tegishli Miller indeksi nolga teng bo‘ladi. Masalan, xOy tekisligiga perpendikulyar tekislik z o‘qi bilan cheksizlikda kesishganda Miller indekslari (hr0) bo‘ladi.
Adabiyotlar:

1)K.P.Bogorodiskiy, V.V.Pasinkov, “Elektrotexnicheskiy materiali”1985g

2)I.Xolikulov,M.M.Nishonova”Elektron texnika materiallari“ Toshkent sharq 2006y
3)N.V.Nikulin, V.A.Nazarov ”Radiomateriallar va komponentlar “ Toshkent