Ethan Frome

DARAJALI QATOR VA TEYLOR QATORI [G.BAUMAN, 56-65BETLAR


2.6.1 Qatorning ta’rifi va xossalari
2.2.2 bo‘limda funksiyaning darajali Makloren ko‘phadi
(2.32)
va nuqtada funksiya uchun darajali Teylor ko‘phadi
(2.33)
ko‘rinishda ekanini aniqlagan edik.
O‘shandan beri, biz cheksiz sondagi qo‘shiluvchilardan iborat yig‘indini ko‘rib keldik. Shuning uchun, Teylor va Makloren ko‘phadlari tushinchasini qo‘shiluvchilar soni n ning qiymatini to‘xtatmasdan qatorga kengaytirish katta qadam emas. Shunday qilib, biz quyidagi 2.7- ta’rifga ega bo‘lamiz.
2.7- ta’rif . Teylor va Makloren qatorlari.
Agar funksiya nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega bo‘lsa u holda

qatorni nuqtada funksiya uchun Teylor qatori dyeiladi. Bu qatorda bo‘lgan maxsus hususiy holi

ko‘rinishda bo‘lib, uni funksiya uchun Makloren qatori deyiladi.
Shuni esda saqlash kerakki, darajali Makloren va Teylor ko‘phadlari mos Makloren va Teylor qatorlari uchun qismiy yig‘indi bo‘ladi.
Yoyilmasidagi koeffitsiyentlarni ixtiyoriy o‘zgarmaslar bilan almashtirish orqali Makloren va Teylor qatorlarini umumlashtirishga erishiladi
Bunday koeffitsiyentli qatorni atrofida yoki muayyan chekli qiymat atrofida darajali qator deyiladi.


2.8- ta’rif . Darajali qator
Yoyilmasidagi koeffitsiyentlar ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘lgan,

yoki

ko‘rinishda berilgan qatorni atrofidagi yoki ixtiyoriy qiymat atrofidagi darajali qator deyiladi.
Agar ixtiyoriy qiymat atrofidagi darajali qator koeffitsiyentlarini bilan almashtirilsa,u Teylor qatoriga aylanadi; atrofidagi darajali qator koeffitsiyentlarini bilan almashtirilsa,u Makloren qatoriga aylanadi.
Agar darajali qatordagi o‘rniga biror son qo‘ysak, u holda olingan sonli qator yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin. Bu esa, berilgan darajali qator yaqinlashuvchi bo‘ladigan ning qiymatlari to‘plamini aniqlash masalasiga olib keladi; bu to‘plam darajali qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi.
ning darajalari bo‘yicha qator yaqinlashishi haqidagi asosiy natijani quyidagicha ifodalash mumkin.
2.15-teorema. Yaqinlashish radiusi
darajali qator uchun, quyidagi tasdiqlardan faqat bittasigina orinli:
a) Qator faqat da yaqinlashadi.
b) Qator ning barcha haqiqiy qiymatlarida absolyut yaqinlashadi (va demak, yaqinlashadi).
b) Qator ning barcha haqiqiy qiymatlarida absolyut yaqinlashadi (va demak, yaqinlashadi).
c) Qator ning biror ochiq intervalga tegishli barcha haqiqiy qiymatlarida absolyut yaqinlashadi (va demak, yaqinlashadi) va agar yoki bo‘lsa, uzoqlashadi. yoki bo‘lsa, hosil bo‘lgan sonli qatorga bog‘liq ravishda, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi, shartli yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin.