Ethan Frome

Кuchaytirilgan qatorlar.

Ta’rif
u₁(x)+u₂(x)+u₃(x)+...+u_n(x) (1)

funksional qator berilgan bo’lsin. Agar shunday bir musbat hadli yaqinlashuvchi sonli qator

(2)

mavjud bo’lib,

(3)

shart bajarilsa, (1) funksional qatorni o’zining aniqlanish sohasida kuchaytirilgan qator deb ataladi.

Misol uchun:

qator oraliqda kuchaytirilgan qatordir. Haqiqatdan ham x ning har qanday qiymatlari uchun.

(n=1,2,3,...) munosabat bajariladi va bu qator yaqinlashuvchidir, chunki umumlashgan garmonik qator yaqinlashuvchi qator hisoblanadi.
Ta’rifdan ko’rinadiki, ma’lum bir sohada berilgan kuchaytirilgan qator o’sha sohaning har bir nuqtasida absolyut yaqinlashadi.
Undan tashqari kuchaytirilgan qator quyidagi muhim xossaga ega.


Veyershtrass teoremasi.
[a, b] kesmada
u₁(x)+u₂(x)+u₃(x)+...+u_n(x)+...

kuchaytirilgan qator berilgan bo’lib, S(x) uning yig’indisi, S_n(x) esa uning birinchi n ta hadining yig’indisi bo’lsin. U holda istalgan kichik musbat son >0 uchun shunday musbat son N topiladiki, hamma lar uchun |S(x)-S_n(x)|< tengsizlik bajariladi.

Isboti. (2) qatorning yig’indisini G bilan belgilaymiz:
G=₁+₂+₃+...+_n+...

u holda G=G_n+E_n, bu yerda

G_n=₁+₂+...+_n, Е_n=_n+1+_n+2+_n+3...

(2) qator yaqinlashuvchi qator, shuning uchun , demak .

Endi (1) qatorni S(x)=S_n(x)+r_n(x) ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda


S_n(x)=u₁(x)+u₂(x)+u₃(x)+...+u_n(x); r_n(x)=u_n+1(x)+u_n+2(x)+...

(3) shartga ko’ra u_n+1(x)_n+1, u_n+2(x)_n+2 ,..., shuning uchun r_n(x)E_n. Shunday qilib har qanday х[a, b] lar uchun

S(x)-S_n(x)_n

tengsizlik o’rinli. Lekin edi, shuning uchun

S(x)-S_n(x)<_n.

Ta’rif. Veyershtrass teoremasiga bo’ysunadigan har qanday qator [a, b] kesmada tekis yaqinlashuvchi qator deb ataladi.

Veyershtrass teoremasidan ko’rinadiki kuchaytirilgan qator tekis yaqinlashuvchi qatordir.
Misol. qator (0;1) intervalda tekis yaqinlashishga tekshirilsin.
Yechish. Berilgan qatorning yig’indisini va qoldig’ining modulini topaylik:

Endi ixtiyoriy 0 uchun shunday N con topaylikki, da ya’ni bajarilsin. Buning uchun oxirgi tengsizlikni n ga nisbatan yechamiz:

(tengsizlik teskarisiga o’zgardi, chunki (0,1) oraliqda lnx<0)

nN munosabatga asosan N ni ko’rinishda qabul qilamiz.
Oxirgi formuladan ko’rinadiki N bilan х ga bog’liq. Shunday ekan N(x) funksiyaning (0,1) intervaldagi xarakterini tekshirish qoladi. Bu funksiya ushbu intervalda chegaralanmagan, chunki x1 da lnx0. Demak, N, bu degani tengsizlikni bajaradigan N mavjud emas. Shuning uchun berilgan qator (0,1) intervalda tekis yaqinlashmaydi. Lekin har qanday (0,] yarim intervalda (0<<1) berilgan qator tekis yaqinlashadi, chunki N(x) funksiya yarim intervalda chegaralangan.