Ethan Frome

Teorema 2.18 Darajali qatorni integrallash
Faraz qilaylik, f funksiya x-x₀ bo`yicha qatorga yoyilgan va nolga teng bo`lmagan yaqinlashish radiusi R ga ega, ya`ni

1. 
   Agar darajali qator ko`rinishidagi f funsiyalarni hadma had integrallasak, u holda hosil bo`lgan qator yaqinlashish radiusi ham R ga teng bo`ladi va u qator (x<sub>0</sub>-R<sub>1,</sub>x<sub>0</sub>+R) oraliqda f(x) ning integraliga yaqinlashadi, ya`ni
   

2. 
   Agar _{ } sonlari (x₀-R_1,x₀+R) interval nuqtalari bo`lsa va f funksiya darajali qatori <sub> </sub> oraliqda hadma had integrallansa, u holda hosil bo`lgan qator (x₀-R_1,x₀+R) oraliqda absalyut yaqinlashadi va
   

Teorema 2.18 va 2.17 ga asoslanib funksiyalarni darajali qatorga yechishni turli yo`llari kelib chiqadi.
2.63. Funksiyalarni darajali qatorga yechishning amaliy usullari
Biz bu bo`limda funksiyalarni darajali qatorga yoyilshi turli misolarda namoyon etamiz.
Misol 2.26 arctg(x) ni darajali qatorga yoyish.
arctg(x) funksiya uchun Makloren qatorini toping
Yechish 2.26 . Makloren qatorini to`gridan to`g`ri toppish ancha zerikarli va charchoqli.

Yahshi yo`li quyidagi formuladan boshlaymiz.

Va quyidagi makloren qatorinihadma hadma-had integrallaymiz

Bundan kelib chiqadi

Bu -1Izoh 2.12 Teorema 2.18 va Teorema 2.17 lar yaqinlashish intervalining oxirgi (chekka) nuqtalarida qator nima bo`ladi, yaqinlashadimi yoki uzoqlashadimi degan savollarga javob bermaydi.
Ammo f funksiyaning x=x<sub>0</sub> dagi Teylor qatori (x<sub>0</sub>-R<sub>1,</sub>x<sub>0</sub>+R) da f(x) funksiyaga yaqinlashadi. Agar Teylor qatori intervalning o’ng chekkasida x<sub>0</sub>+R da yaqinlashsa, uning qiymati f(x) ning <sub> </sub> dagi chap limitga yaginlashadi. Agar Teylor qatori intervalnining chap chekkasi <sub> </sub> da yaqinlashca, uning qiymati f(x) ning <sub> </sub> dagi o`ng limitga yaqinla-shadi.
Teylor formuasini f(x) funksiya integralini taqribiy hisoblashning Simpson va boshqa sonli usullariga alternetiv usul hisoblanadi.