Eyler almashtirmalari. Shu bobning boshida (§2, 2.5. ga qarang) kvadrat uchhad qatnashgan integrallarni ayrim xususiy hollarda hisoblash masalasini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu masalani nisbatan umumiyroq bo‘lgan
ko‘rinishdagi integrallar uchun qaraymiz. Bunday irratsional ifodali integrallar shveysariyalik buyuk matematik L. Eyler (1707-1783 y.) tomonidan taklif etilgan almashtirmalar yordamida ratsional kasrli integralga keltiriladi va hisoblanadi. Bu yerda uch hol qaraladi.
I hol. Bunda ko‘rilayotgan IEintegralda а>0 deb olinadi. Bu holda integralda x o‘zgaruvchidan yangi t o‘zgaruvchiga Eylеrning I alshmashtirmasidеb ataladigan va
ko‘rinishda bo‘lgan almashtirma orqali o‘tiladi. Bu holda IE integraldagi x, va dx yangi t o‘zgaruvchi orqali ratsional kasr ko‘rinishida ifodalanadi. Demak, qaralayotgan IE integral ratsional kasrli integralga keltirilib, ko‘zlangan maqsadga erishildi.
Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz :
. Bu yerda а=1>0 bo‘lgani uchun almashtirish bajaramiz. Bu holda
.
Bu tengliklarni berilgan integralga qo‘yib, quyidagi natijalarga kelamiz:
.
II hol. Endi c>0 bo‘lsin. Bu holda IE integralni hisoblash uchun ushbu Eylerning II almashtirmasidan foydalanamiz:
.
Bu almashtirma natijasida ratsional kasrli integralga kelamiz. Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:
.
Eylerning II almashtirmasiga ko‘ra quyidagilarni olamiz:
.
Hosil qilingan bu ifodalarni berilgan integralga qo‘yamiz: