Eyler usuli umumiy tushuncha. Eyler almashtirmalari hollar. Eyler almashtirmalari haqida tushuncha

III hol. Qaralayotgan IE integral ostidagi kvadrat uchhad  va  haqiqiy ildizlarga ega, ya’ni diskriminant D=b²–4ac>0 bo‘lsin. Bu holda

ko‘rinishdagi Eylеrning III almashtirmasidan foydalanib, integral ostidagi ifodani ratsional kasr ko‘rinishiga keltiramiz.
Misol sifatida integralni hisoblaymiz.
Bu yerda 2+х–х² kvadrat uchhad  =–1 va =2 haqiqiy ildizlarga ega va uni 2+х–х² = (х+1) (2–х) ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli Eylerning III almashtirmasidan foydalanamiz va undan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:

.
Bundan tashqari

ekanligidan ham foydalanib, yuqoridagi integralni quyidagicha hisoblaymiz:


.
Logarifm ostidagi kasrni x orqali ifodalaymiz va soddalashtirib,

natijani olamiz.
Fazoviy geometrik shaklga ega bo‘lgan jismlardan biri ko‘pyoqlik bo‘lib, u hamma tomonidan tekis ko‘pburchaklar, ya’ni yoqlar bilan chegaralanadi (1 va 2-shakl).

Uch va undan ortiq tekisliklarning o‘zaro kesishish chizig‘i ko‘pyoqlikning qirrasi deyiladi. Ko‘pyoqlikning ikki qo‘shni qirralari orasidagi tekislikning (AED) qismi esa ko‘pyoqlikning yonlari deyiladi.

Bizga ma’lumki, uchta tekislik o‘zaro bitta nuqtada kesishadi. Bitta nuqtada kesishuvchi uchta va undan ortiq sondagi tekisliklar bilan chegaralangan ko‘pyoqlik piramida deyiladi (1-shakl), AB, AC, va AE lar piramidaning yon qirralari, A nuqta piramidaning uchi va Δ BAC, Δ CAD va Δ EAB lar piramidaning yon yoqlari deyiladi. Chizmalarni o‘qishni osonlashtirish maqsadida ko‘pyoqliklar asos deyiluvchi tekislik bilan chegaralanib tasvirlanadi.


1-shakl

Agar ko‘pyoqlikni hosil qiluvchi tekisliklarning kesishish chiziqlari o‘zaro parallel bo‘lsa, bunday ko‘pyoqlik prizma deyiladi (2-shakl). Ko‘pyoqliklar qirralarining kesishgan nuqtalari uning uchlari deyiladi. Prizma yon qirralarining asos tekisligiga nisbatan holatiga qarab og‘ma yoki to‘g‘ri prizma deyiladi.

Ko‘pyoqlik o‘zini chegaralovchi istalgan yoqqa (tekislikka) nisbatan bir tomonda joylashsa, qavariq ko‘pyoqlik, aks holda, ya’ni tekislikdan turli tomonda joylashsa botiq ko‘pyoqlik deyiladi.


2-shakl

Asoslari o‘zaro parallel tekisliklarda yotgan ikkita ko‘pburchakdan va yon yoqlari esa ikkala asos uchlaridan iborat uchburchaklar va trapetsiyalardan iborat bo‘lgan ko‘pyoqlik prizmatoid deyiladi (3-shakl).

3-shakl

Agar asoslari teng muntazam qavariq ko‘pburchaklardan iborat bo‘lib, ulardan birini ikkinchisiga nisbatan umumiy normal atrofida  burchakka (n – ko‘pburchak tomonining soni) burilsa, prizmatoid antiprizmaga aylanadi (4-shakl).

4-shakl

Bir jinsli qavariq ko‘pyoqliklar muntazam va yarim muntazam ko‘pyoqliklarga ajraladi. Muntazam qavariq ko‘pyoqliklar o‘zaro teng bir xil muntazam ko‘p burchaklardan iborat yoqlarga, o‘zaro teng ikki yoqli burchaklarga va o‘zaro teng qirralarga ega bo‘ladi. Bu ko‘pyoqliklar asosan besh xil bo‘lib, Platon jismlari deyiladi (5-shakl, a-tetroedr, b-geksaedr, c-oktaedr, d-dodekaedr, e-ikosaedr). Ko‘pyoqliklarning muhim hossalaridan birini Eyler quyidagicha bayon qiladi.