Fakulteti guruh talabasi

Veyershtrass teoremasi.
Agar
(6)
funksional qatorning har bir hadi sohada golomorf bo’lib, bu qator D sohada yotuvchi ixtiyoriy F yopiq to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda qator yig’indisi
(7)
funksiya D sohada golomorf bo’ladi.
Isbot. D sohada ixtiyoriy nuqtani olib, uning shunday atrofini qaraymizki, bo’lsin.
Shartga ko’ra (6) qator da tekis yaqinlashuvchi. Demak, qator da ham tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
funksiya D sohada golomorf bo’lgani uchun u (6) qatorning har bir hadi da ham golomorf bo’ladi. Binobarin, da funksiya uzluksiz. Unda qator yig’indisi f(z) funksiya ham da uzluksiz bo’ladi.
Endi da yotuvchi yopiq silliq chiziqni olaylik . (7) qatorni chiziq bo’yicha hadlab integrallab, topamiz:
(8)
Koshi teoremasiga ko’ra
(9)
bo’ladi.
(8) va (9) dan bo’lishi kelib chiqadi. Morera teoremasidan foydalanib f(z) funksiyani da va, demak, nuqtada golomorf bo’lishini topamiz. Qaralayotgan nuqta D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lganligidan f(z) funksiyani D sohada golomorf bo’lishi kelib chiqadi.
Natija: Yuqorida keltirilgan Veyershtrass teoremasining sharti bajarilganda

qatorni istalgan marta hadlab differensiallash mumkin bo’lib,

bo’ladi.

Golomorf funksiyaning nollari.

Faraz qilaylik, biror funksiyaning kengaytirilgan kompleks tekislikda da, berilgan bo’lib, bo’lsin.
Agar

bo’lsa, kompleks son funksiyaning noli deyiladi.
Aytaylik, funksiya nuqtada golomorf bo’lsin. Bu funksiyani nuqta atrofida darajali qatorga yoyamiz:
(10)
Agar nuqta funksiyaning noli bo’lsa, u holda

bo’lib, (10) formula ushbu

ko’rinishga keladi.
Aytaylik, (10) da
(11)
bo’lib,

bo’lsin. U holda (10) tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Ma’lumki,

Yuqoridagi (11) munosabatni e’tiborga olib,

bo’lishini topamiz.
Bu holda nuqta funksiyaning karrali noli deyiladi.
Shunday qilib, funksiyaning karrali noli bo’lsa, u holda

bo’lib,

funksiya nuqtada golomorf bo’ladi.
Aksincha, agar funksiya quyidagicha

ifodalanib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa, nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi.
funksiya nuqtada golomorf bo’lsin. Bu holda nuqta atrofida funksiya ushbu
(12)
qatorga yoyiladi.
nuqta funksiyaning noli bo’lsin.
Ravshanki, u holda

bo’lib, (12) formula ushbu
(13)
ko’rinishga keladi.
Aytaylik, (13) formulada
(11)
bo’lib,

bo’lsin. Bu holda nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi. U holda (13) formuladan


bo’lishini topamiz. Bu erda

funksiya uchun

bo’lib, funksiya nuqtada golomorf bo’ladi.
Aksincha, agar funksiya quyidagicha

ifodalanib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning karrali noli bo’ladi.