Teorema. Faraz qilaylik, funksiya z=a nuqtada golomorf bo’lib, shu z=a nuqta funksiyaning noli bo’lsin: f(a)=0. U holda yo f(z) funksiya a nuqtaning biror atrofida aynan nolga teng yoki a nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda f(z) funksiyaning z=a nuqtadan boshqa noli bo’lmaydi.
Isbot. Shartga ko’ra, f(z) funksiya z=a nuqtada golomorf. Unda funksiya z=a nuqta atrofida qatorga yoyiladi:
. (14)
Aytaylik, (14) da barcha lar nolga teng bo’lsin:
.
Ravshanki, bu holda funksiya z=a nuqta atrofida f(z)=0 bo’ladi.
Endi (14) da
bo’lib,
bo’lsin. Bu holda z=a nuqta f(z) funksiyaning m karrali noli bo’lib, u quyidagicha
ifodalanadi. Bu erda g(z) funksiya z=a nuqtada golomorf va . Ayni paytda g(z) funksiya z=a nuqtada uzluksiz ham bo’ladi. Unda bo’lganligi sababli z=a nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda bo’ladi. Binobarin shu atrofda f(z) funksiyaning z=a nuqtadan boshqa nollari bo’lmaydi.
Chegirmalar va ularni hisoblash. Faraz kilaylik, funksiya da golomorf bo’lib, a nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo’lsin.
1-Ta’rif. Ushbu
integral funksiyaning a nuqtadagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi: . Ravshanki, funksiya a nuqtada golomorf bo’lsa, bo’ladi.
Aytaylik, funksiya da golomorf bo’lsin.
2-Ta’rif. Ushbu
integral funksiyaning nuqtadagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi: . 1-Teorema. Agar funksiya xalqada Loran qatori
ga yoyilgan bo’lsa, u holda (18) bo’ladi. Agar funksiya xalqada Loran qatori
ga yoyilgan bo’lsa, u holda
(19)
2-Teorema. (Chegirmalarning yigindisi haqidagi teorema). Agar funksiya to’plamda golomorf bo’lsa, u holda (20) bo’ladi. Endi funksiya chegirmalarini hisoblashda foydalanadigan formulalarni keltiramiz.
Agar nuqta funksiyaning birinchi tartibli qutb nuqtasi bo’lsa,
(21)
bo’ladi.
Agar uchun funksiyalar a nuqtaga golomorf bo’lib, bo’lsa , u holda
(22)
bo’ladi.
Agar nuqta funksiyaning n-tartibli qutb nuqtasi bo’lsa,
(23)
bo’ladi.
Agar nuqtada funksiya golomorf bo’lsa,
(24)
bo’ladi.
5) Agar bo’lib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa,
(25)
bo’ladi.
