Fan va innovatsiya vazirligi zarmed universiteti

Ta'rif 3.2. Chiziqli fazo R u har qanday sonli chiziqli mustaqil elementlarni o'z ichiga olsa, cheksiz o'lchovli deyiladi.
3.4 teorema. Chiziqli bo'shliqqa ruxsat bering R dan iborat asosga ega n elementlar. Keyin o'lcham R ga teng n(xira R = n).
n o'lchovli fazo haqida tushuncha
V chiziqli fazo deyiladi n o'lchovli fazo, agar unda n ta chiziqli mustaqil element sistemasi mavjud bo'lsa va har qanday n + 1 elektron chiziqli bog'liq bo'lsa.
Eski va yangi asoslar vektorlarini bog'lovchi formulalar
VEKTOR FOSOS (chiziqli fazo), algebraning asosiy tushunchalaridan biri, (erkin) vektorlar to'plami tushunchasini umumlashtiruvchi. Vektor fazoda vektorlar o'rniga raqamlarga qo'shilishi va ko'paytirilishi mumkin bo'lgan har qanday ob'ektlar ko'rib chiqiladi; bu holda, asosiy talab qilinadi algebraik xossalari bu amallar elementar geometriyadagi vektorlar bilan bir xil edi. Aniq ta'rifda raqamlar har qanday K maydonining elementlari bilan almashtiriladi. K maydoni ustidagi vektor fazosi V to'plam bo'lib, V dan elementlarni qo'shish va V dan elementlarni K maydonining elementlariga ko'paytirish operatsiyasi mavjud. quyidagi xususiyatlarga ega:
V dan har qanday x, y uchun x + y = y + x, ya'ni qo'shishga nisbatan V - abel guruh; l (x + y) = K va x dan har qanday l uchun l ch + ly, V dan y; (l + m) har qanday l uchun x = lx + mx, K dan m va V dan x; (l m) har qanday l uchun x = l (mx), K dan m va V dan x; V dan istalgan x uchun 1x = x, bu yerda 1 K maydonning birligini bildiradi.
Vektor fazosiga misollar: elementar geometriyadan barcha vektorlarning mos ravishda L 1, L 2 va L 3 to‘plamlari to‘g‘ri chiziq, tekislik va fazoda vektor qo‘shish va songa ko‘paytirishning odatiy amallari bilan; koordinata vektor fazosi K n, uning elementlari K maydonining elementlari bilan n uzunlikdagi barcha mumkin bo‘lgan satrlar (vektorlar) bo‘lib, amallar formulalar bilan berilgan. F (M, K) sobit M to'plamida aniqlangan va K maydonida qiymatlarni oladigan barcha funktsiyalarning F (M, K) to'plami, funktsiyalar bo'yicha odatiy operatsiyalar bilan: e 1 ..., e n vektor fazoning elementlari, agar l 1 e 1 + ... + l n e n = 0 Ê V tengligidan barcha l 1, l 2, .. tengligi kelib chiqsa, chiziqli mustaqil deyiladi. ., l n = 0 Ê K. Aks holda e 1, e 2, ···> e n elementlar chiziqli bog'liq deyiladi. Agar V vektor fazoda har qanday n + 1 element e 1, ..., e n + 1 chiziqli bog‘liq bo‘lib, n ta chiziqli mustaqil element bo‘lsa, V n o‘lchovli vektor fazo, n esa V o‘lchovli vektor fazo deyiladi. Har qanday natural n uchun V vektor fazoda n chiziqli mavjud bo'lsa mustaqil vektorlar, u holda V cheksiz o'lchovli vektor fazo deb ataladi. Masalan, vektor fazosi L 1, L 2, L 3 va K n mos ravishda 1-, 2-, 3- va n-oʻlchovli; agar M cheksiz to'plam bo'lsa, F (M, K) vektor fazosi cheksiz o'lchovli bo'ladi.
K maydoni ustidagi V va U vektor fazolari, agar ph birma-bir xaritalash mavjud bo'lsa, izomorf deyiladi: V -> U shundayki, har qanday x uchun ph (x + y) = ph (x) + ph (y) bo'lsin. , V dan y va K dan istalgan l uchun ph (lx) = l ph (x) va V dan x. Izomorf vektor fazolar algebraik jihatdan farqlanmaydi. Izomorfizmgacha boʻlgan chekli oʻlchovli vektor fazolarning klassifikatsiyasi ularning oʻlchamiga koʻra beriladi: K maydon ustidagi har qanday n oʻlchovli vektor fazo K n koordinata vektor fazosiga izomorf boʻladi. Shuningdek qarang: Hilbert fazosi, chiziqli algebra.
VEKTOR FOSHI, K maydoni ustidagi chiziqli fazo, qo'shimchalar bilan yozilgan Abel E guruhi bo'lib, unda elementlarning skalerlarga ko'payishi aniqlanadi, ya'ni xaritalash.
K × E → E: (l, x) → lx, quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi (x, y ∈ E, l, m, 1 ∈ K):
1) l (x + y) = lx + ly,
2) (l + m) x = lx + mx,
3) (lm) x = l (mx),
4) 1 ⋅ x = x.
1) -4) aksiomalar vektor fazoning quyidagi muhim xossalarini bildiradi (0 ∈ E):
5) l ⋅ 0 = 0,
6) 0 ⋅ x = 0,
Buyumning V. elementlari deyiladi. V. p. yoki vektorlar nuqtalari bo'yicha va K maydonining elementlari - skalerlar bo'yicha.
Matematika va ilovalardagi eng katta qoʻllanish ℂ sohasida V.larda topilgan murakkab sonlar yoki maydon ustida ℝ haqiqiy sonlar; ular deyiladi. mos ravishda murakkab V. p. yoki haqiqiy V. p.
Umumiy nazariyaning aksiomalari ma'lum algebraik elementlarni ochib beradi. ko'pincha tahlilda uchraydigan ko'plab funktsiyalar sinflarining xususiyatlari. V. n.ning eng asosiy va eng qadimgi misollari n oʻlchovli Evklid fazolaridir. Deyarli bir xil darajada muhim misollar juda ko'p funktsional bo'shliqlar: uzluksiz funksiyalar fazosi, o'lchanadigan funksiyalar fazosi, yig'iladigan funksiyalar fazosi, analitik fazo. funksiyalar, chegaralangan o'zgaruvchanlik funksiyalar fazosi.
V. p. tushunchasi maxsus holat halqa ustidagi modul tushunchasi, ya'ni V. p. maydon ustidagi unitar moduldir. Kommutativ bo'lmagan halqa ustidagi unitar modul ham deyiladi. tana ustidagi vektor maydoni; bunday oʻzgaruvchan fazolar nazariyasi maydon ustidagi chekli fazolar nazariyasiga qaraganda koʻp jihatdan murakkabroq.
Umumlashtirilgan fazo bilan bog’liq bo’lgan muhim muammolardan biri fazo sohasi geometriyasini o’rganish, ya’ni fazo sohasidagi to’g’ri chiziqlar, fazo sohasidagi tekis va qavariq to’plamlar, fazo sohasi ostfazolari va fazo sohasini o’rganishdir. asoslar V. p.
V. n. E ning K maydoni ustidagi vektor pastki fazosi yoki oddiygina pastki fazosi deyiladi. skaler bilan qo'shish va ko'paytirish amallari ostida yopilgan F ⊂ E kichik to'plami. O'z ichiga olgan bo'shliqdan alohida ko'rib chiqiladigan pastki bo'shliq xuddi shu maydon ustidagi bo'shliqdir.
Ikkita x va y B nuqtalaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa deyiladi. z = lx + (1 - l) y, l ∈ K ko‘rinishdagi z ∈ E elementlar to‘plami. G ∈ E to‘plam deyiladi. tekis to'plam, agar u har qanday ikkita nuqta bilan birga ushbu nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqni o'z ichiga oladi. Har bir tekis to'plam ma'lum bir pastki fazodan siljish orqali olinadi ( parallel uzatish): G = x + F; demak, har bir element z ∈ G ifodalanishi mumkin noyob yo'l z = x + y, y ∈ F ko'rinishida va bu tenglik F va G o'rtasidagi yakkama-yakka muvofiqlikni amalga oshiradi.
Berilgan F kichik fazoning barcha siljishlari F x = x + F to'plami V. a. K ustidan, deyiladi. E / F faktor maydoni, agar operatsiyalar quyidagicha aniqlangan bo'lsa:
F x F y = F x + y; lF x = F lx, l ∈ K.
M = (x a) a∈A E dan ixtiyoriy vektorlar to‘plami bo‘lsin; x a ∈ E vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi. vektor x formula bilan aniqlanadi
x = ∑ a l a x a, l a ∈ K,
bunda faqat cheklangan sonli koeffitsientlar noldan farq qiladi. Berilgan M to'plam vektorlarining barcha chiziqli birikmalari yig'indisi M o'z ichiga olgan eng kichik pastki fazodir va deyiladi. chiziqli qobiq to'plam M. Chiziqli birikma deyiladi. agar barcha koeffitsientlar l a nolga teng bo'lsa, trivial. M to'plam deyiladi. chiziqli mustaqil to'plam, agar M dan vektorlarning barcha notrivial chiziqli birikmalari nolga teng bo'lmasa.
Har qanday chiziqli mustaqil to'plam ma'lum bir maksimal chiziqli mustaqil M 0 to'plamida, ya'ni E ning istalgan elementidan keyin chiziqli mustaqil bo'lishni to'xtatadigan shunday to'plamda joylashgan.
Har bir element x ∈ E maksimal chiziqli mustaqil to'plam elementlarining chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin:
x = ∑ a l a x a, x a ∈ M 0.
Shu munosabat bilan maksimal chiziqli mustaqil to'plam deyiladi. V. p.ning asosi (algebraik asos). Berilgan V. p ning barcha asoslari bir xil kardinallikka ega, ular deyiladi. a V. n oʻlchami. Agar bu kardinallik chekli boʻlsa, fazo deyiladi. chekli o'lchovli V. p .; aks holda deyiladi. cheksiz o'lchovli V. p.
K maydoniga K maydoni ustidagi bir oʻlchovli V. fazo sifatida qarash mumkin; bu V. p.ning asosi bir elementdan iborat; u har qanday nolga teng bo'lmagan element bo'lishi mumkin. Bazisi n ta elementdan iborat boʻlgan chekli oʻlchamli oʻzgaruvchan fazo a deyiladi. n o'lchovli fazo.
Haqiqiy va murakkab oʻzgaruvchan fazo nazariyasida qavariq toʻplamlar nazariyasi muhim oʻrin tutadi. Haqiqiy V.dagi M toʻplam deyiladi. qavariq to'plam, agar uning x, y nuqtalarining istalgan ikkitasi bilan birga tx + (1 - t) y, t ∈ segmenti ham M ga tegishli bo'lsa.
O'zgaruvchan fazo nazariyasida muhim o'rinni n o'zgaruvchan fazodagi chiziqli funksionallar nazariyasi, tegishli ikkilik nazariyasi egallaydi. E maydoni B. boʻshliq K boʻlsin. E dagi chiziqli funksional a deyiladi. qo'shimcha va bir jinsli xaritalash f: E → K:
f (x + y) = f (x) + f (y), f (lx) = lf (x).
E dagi barcha chiziqli funksionallarning E * to‘plami amallarga nisbatan K maydonida V.sub.ni hosil qiladi.
(f 1 + f 2) (x) = f 1 (x) + f 2 (x), (lf) (x) = lf (x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E *.
Bu V. p. deyiladi. dual (yoki dual) bo'shliq (E ga). Bir qator geometrik tushunchalar konjugat fazo tushunchasi bilan bog'liq. shartlari. D ⊂ E bo'lsin (mos ravishda, G ⊂ E *); D to‘plamning annigilyatori yoki D to‘plamning ortogonal to‘ldiruvchisi (mos ravishda D to‘plam) deyiladi. bir guruh
D ⊥ = (f ∈ E *: barcha x ∈ D uchun f (x) = 0) (mos ravishda, G = (x ∈ E: f (x) = 0 barcha f ∈ G) uchun); bu erda D ⊥ va D mos ravishda E * va E bo'shliqlarining pastki bo'shliqlari. Agar f E * ning nolga teng bo'lmagan elementi bo'lsa, u holda (f) E dagi maksimal to'g'ri chiziqli pastki fazo deb ataladi. ba'zida giperkosmos; bunday pastki fazoning siljishi deyiladi. E da giperplan; Har bir giperplanning shakli bor
(x: f (x) = l), bu erda f ≠ 0, f ∈ E *, l ∈ K.
Agar F a B. n. E ning pastki fazosi bo'lsa, F * va F o'rtasida tabiiy izomorfizmlar mavjud.
E * / F ⊥ va (E / F) * va F ⊥ orasida.
⊂ E * kichik to'plami chaqiriladi E ga nisbatan umumiy kichik toʻplam, agar uning annigilyatorida faqat nol element boʻlsa: D = (0).
Har bir chiziqli mustaqil to‘plam (x a) a∈A ⊂ E konjugat to‘plam (f a) a∈A ⊂ E * bilan bog‘lanishi mumkin, ya’ni, shunday to'plam shundayki, f a (x b) = d ab (Kronecker belgisi) barcha a, b ∈ A uchun. bu holda, bioortogonal tizim. Agar (x a) to‘plam E da bazis bo‘lsa, u holda (f a) E dan umumiy bo‘ladi.
nazariya chiziqli transformatsiyalar V. n.E 1, E 2 ikkita boʻlsin V. n. Xuddi shu maydon ustidagi K. operatori E 1 dan E 2 gacha), chaqiriladi. E 1 fazoni E 2 ga qo'shimcha va bir hil xaritalash:
T (x + y) = Tx + Tu; T (lx) = lT (x); x, y ∈ E 1.
Ushbu kontseptsiyaning alohida holati chiziqli funktsional yoki chiziqli operator E 1 dan K gacha. Chiziqli xaritalash, masalan, har bir x ∈ E elementiga F x ∈ E / F yassi toʻplamini tayinlaydigan E/F boʻlak fazosiga B.e.ning tabiiy xaritalashidir. Barcha chiziqli operatorlarning T: E 1 → E 2 to'plami ℒ (E 1, E 2) amallarga nisbatan V.sub.ni tashkil qiladi.
(T 1 + T 2) x = T 1 x + T 2 x; (lT) x = lTx; x ∈ E 1; l ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ (E 1, E 2).
Ikki V. p. E 1 va E 2 deyiladi. izomorf V. p., agar chiziqli operator ("izomorfizm") bo'lsa, ularning elementlari o'rtasida birma-bir yozishmalarni amalga oshiradi. E 1 va E 2 izomorf bo'ladi, agar ularning asoslari bir xil kardinallikka ega bo'lishi mumkin.