Fənn: Riyazi analiz-1(2100)

Teorem. Əgər funksiyası parçasında kəsilməzdirsə, onda həmin parçada inteqrallanandır.

Müəyyən inteqralın əsas xassələri

1. Müəyyən inteqral yalnız funksiyasının şəklindən və inteq­ralın sərhədlərindən asılı olur, inteqrallama dəyişənindən isə asılı olmur. Ona görə də inteqrallama dəyişənini istənilən hərflə işarə etmək olar:

.

2. Əgər yuxarı və aşağı sərhədlər üst-üstə düşərsə, onda inteqral sıfra bərabərdir:

.

3. Yuxarı və aşağı sərhədlərin yerini dəyişəndə inteqral öz qiymətini əksinə dəyişər

.

4. a, b, c ədədlərinin neçə olmalarından asılı olmayaraq aşağıdakı bərabərlik doğrudur

.

5. Sabit vuruğu müəyyən inteqral işarəsi xaricinə çıxarmaq olar, yəni olduqda

.

6. Bir neçə funksiyanın cəbri cəminin müəyyən inteqralı toplananların inteqrallarının cəbri cəminə bərabərdir

.

7. Əgər parçasınında olarsa, onda

.

8. parçasında olarsa, onda

.

9. parçasında təyin olunmuş funksiyası üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

.

10. Əgər m və M ədədləri funksiyasının parçasında ən böyük və ən kiçik qiymətləri və olarsa, onda

.

11. Orta qiymət haqqında teorem. Əgər funksiyası parçasında kəsilməzdirsə, onda bu parçada elə nöqtəsi tapmaq olar ki, aşağıdakı bərabərlik doğru olsun:

.
Teorem. Əgər F(x) funksiyası verilmiş -in ibtidai funksiyalarından biri olarsa, onda

(1)

düsturu doğrudur. Bu düstura Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.

İsbatı. Tutaq ki, F(x) funksiyası -in hər hansı bir ibtidai funk­siyasıdır. Yuxarıda isbat olunan teoremə görə funksiyası da üçün ibtidaidir. Verilən funksiyanın iki ibtidaisi bir-birindən C sabiti qədər fərqləndiyindən aşağıdakı kimi yazmaq olar

(2)

C sabiti düzgün seçildikdə bu bərabərlik istənilən x üçün doğrudur, yəni eynilikdır. Bu C sabitini tapmaq üçün bu eynilikdə götürək, onda

,

yaxud ; və buradan

Deməli,

.

Burada x ₌ b götürməklə Nyuton-Leybnis düsturunu alarıq

,

və yaxud inteqrallama dəyişəni x götürərək

.

Əgər fərqi simvolik olaraq

şəklində işarə etsək, onda (1) düsturunu belə yazmaq olar

.

İnteqralaltı funksiyanın ibtidai funksiyası məlum olduqda Nyuton-Leybnis düsturu müəyyən inteqralı hesablamaq üçün əlverişli üsul verir.