Fənn: Riyazi analiz-1(2100)

Görkəmli limitlər

İki görkəmli limit vardır.

1. 
   Birinci görkəmli limit:
   

2. 
   İkinci görkəmli limit:
   

4.Nöqtədə və aralıqda kəsilməz funksiyalar. Parçada kəsilməz funksiyanın xassələri.

Tutaq ki, 𝑦=(𝑥) funksiyası 𝑥0 nöqtəsində və onun müəyyən ətrafında təyin olunmuşdur.

Tərif 9.1.1. Əgər (𝑥) funksiyasının 𝑥0 nöqtəsində limiti varsa və bu limit funksiyasının 𝑥0 nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdirsə,



onda 𝑓(𝑥) funksiyasına 𝑥₀ nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.

(9.1.1) bərabərliyi aşağıdakı üç şərtin ödənilməsi deməkdir:

1) funksiya 𝑥₀ nöqtəsində və onun müəyyən ətrafında təyin olunmalıdır;

2) 𝑥₀ nöqtəsində funksiyanın limiti olmalıdır;

3) bu limit funksiyanın 𝑥₀ nöqtəsindəki qiymətinə bərabər olmalıdır.

𝑥→𝑥₀ olduqda olduğu üçün (9.1.1) bərabərliyini belə də yazmaq olar:

Bu o deməkdir ki, kəsilməz (𝑥) funksiyasının limitini tapanda funksiya işarəsi altında limitə keçmək olar, yəni (𝑥) funksiyasında 𝑥 arqumentinin əvəzinə, onun 𝑥0 limit qiymətini yazmaq olar. Məsələn,

Funksiyanın nöqtədə kəsilməzliyinə artım dilində də tərif vermək olar. Tutaq ki, 𝑦=(𝑥) funksiyası, müəyyən bir (𝑎,𝑏) intervalında təyin olunmuşdur. ∀𝑥₀∈(𝑎,𝑏) nöqtəsi götü-rək. İstənilən 𝑥∈(𝑎,𝑏) üçün 𝑥−𝑥₀ fərqinə 𝑥 arqumen-tinin 𝑥0 nöqtəsində artımı deyilir və Δ𝑥 ilə işarə olunur: Δ𝑥=𝑥−𝑥₀. Buradan 𝑥=𝑥₀+Δ𝑥.

Funksiyanın uyğun nöqtələrindəki (𝑥)−𝑓(𝑥₀) qiy-mətlər fərqinə isə funksiya artımı deyilir və Δ𝑦 və ya Δ𝑓 simvollarından biri ilə işarə olunur:

Δ𝑦=(𝑥)−𝑓(𝑥₀)=𝑓(𝑥₀+Δ𝑥)−𝑓(𝑥₀).

Aydındır ki, Δ𝑥 və Δ𝑦 artımları həm müsbət və həm də mənfi ola bilər. (9.1.1) bərabərliində 𝑥−𝑥0=Δ𝑥,(𝑥)−𝑓(𝑥₀)=Δ𝑦

olduğunu nəzərə alsaq, onda bu bərabərlik

şəklində olar ki, bu da funksiyanın kəsilməzliyinin artım dilində tərifidir.

Başqa sözlə, funksiya kəsilməzdirsə, onda arqumentin sonsuz kiçik artımına, funksiyanın sonsuz kiçik artımı uyğun gəlir.

(𝑥) funksiyasının 𝑥0 nöqtəsində kəsilməzliyinə “𝜀−𝛿” dilində də tərif vermək olar.

Belə ki, “əgər (𝑥) funksiyası 𝑥0 nöqtəsində təyin olu-nubsa və ∀𝜀>0 ədədinə qarşı ∃𝛿>0 ədədi varsa ki, |𝑥−𝑥0|<𝛿 olduqda |𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)|<𝜀

bərabərsizliyi ödənilsin, onda deyilir ki, funksiya 𝑥0 nöqtəsində kəsilməzdir”.

Əgər

olarsa, 𝑓(𝑥) funksiyasına 𝑥0 nöqtəsində soldan kəsilməz;

olduqda, funksiya 𝑥0 nöqtəsində sağdan kəsilməzdir deyilir.

Aşağıdakı teoremin doğruluğu aydındır.