Fizika-matematika fakulteti matematika kafedrasi algebra va sonlar nazaryasi fanidan



Yüklə 466,37 Kb.
səhifə10/17
tarix07.01.2024
ölçüsü466,37 Kb.
#210203
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   17
algebra va sonlar nazaryasi fanidan kurs ishimAbduxalim

Misollar. 5. A={x,y} - ikki elementli to‘plam, G={y1,y2} - A ni o‘ziga biektiv akslantirishlar to‘plami bo‘lib, j1(x)=x, j1(u)=u j2(x)=u, j2(u)=x ko‘rinishda berilgan va ° akslantirishlarning ko‘paytmasi (kompozitsiyasi) dan iborat bo‘lsin, u holda G algebra Abel gruppasi bo‘ladi.
Haqiqatan xam, gruppaning 10 aksiomasining bajarilishini bevosita tekshirib ko‘rish mumkin.
Masalan. [(j2 j1) j2](x)=(j2 j1) j2(x)=(j2 j1)(y)=j2(j1(y))=
=j2(y) =xÞ(j2 j1) j2=j1;
[j2 (j1 j2)](x)=j2 (j1(x)))=j2(j1(y)) = j2(y)=
=xÞ j2 (j1 j2)= j1
bulardan (j2 j1) j2=j2 (j1 j2) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni xam shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin. 10. G da j1 neytral element vazifasini bajaradi. 20 j1 va j2 larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(j2 j2)(x)= j2(j2)(x)=j2(u)=xÞj2 j2=j1 j1,
(j2 j2)(u)= j2(j2)(u)=j2(u)=u j1(u) Þ
j2 j2=(j1 j1)(x)=j1(j1(x))=j1(x),
(j1 j1)(u)=j1(j1(u))=j1(y) Þ j1 j1=j1
Demak, j1-1=j1, j2-1=j2
40. j1 j2=j2 j1 ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, G Abel gruppasi ekan.
Gruppaning quyidagi xossalarining mulptiplikativ gruppa uchun keltiramiz. Bu xossalar ixtiyoriy gruppalar uchun xam o‘ringa ega bo‘ladi. Bu holda * amal kupaytirish, e=1 a1=a-1 dan iborat bo‘ladi.
Teorema. Agar G gruppa bo‘lsa, "aÎ G uchun a-1a=1 tenglik uringa ega bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik x Î G a-1Î G ga teskari element bo‘lsa, ya’ni a-1x=1. U holda a=a×1=a(a-1×x)=1×x, a=1×x , a-1a=a-1×(1×x)=(a-1×1)x=a-1×x=1, ya’ni a-1x=1.
Teorema isbotlandi.
Teorema. G gruppa bo‘lsa, "aÎ G 1×a=a bo‘ladi.
Isbot. "aÎ G a-1×a=1 30 aksiomadan esa aa-1=1 kelib chiqadi. SHuning uchun 1×a=(a×a-1)a=a×(a-1×a)= a×1=a. Demak, 1×a=a.
Teorema. Agar ax=1 va au=1 bo‘lsa, x=u bo‘ladi.
Isbot. au=1 u=a-1 shuning uchun 1-teoremadan ua=1 tenglik o‘rinli
u=u1=u(ax)=(ua)x=1x=x.
Demak, x=u.
Natija. G gruppa bo‘lsa "aÎ G (a-1)-1=a bo‘ladi. Haqiqatan xam,
a-1a=aa-1=a, (a-1)-1=a.
Natija. G ixtiyoriy gruppada "a,bÎ G ax=b va ya=b tenglamalar yagona x=a-1b, y=ba-1 echimlarga ega.
Natija. G gruppa bo‘lsa, 1(e) undagi yagona birlik (neytral) element bo‘ladi.
Natija. "a,bÎ G uchun (ab-1)=b-1a-1 tenglik o‘ringa ega. Haqiqatan xam, (ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=(a1)a-1=aa-1=1.
Tarif. G gruppaning N¹Æ qism to‘plami uning qism gruppasi (gruppa ostisi) deyiladi. Agar H G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa.
Teorema. N¹Æ to‘plami G gruppaning qism to‘plami bo‘lsin. H G ning qism gruppasi bo‘lishi uchun a) "a,bÎ HÞa*bÎ H; b) aÎ NÞ a'Î H shartlar o‘ringa ega o‘ringa ega bo‘lishi zarur va etarlidir.


4-§. Algebrik amallarga nisbatan halqa va maydonning
umumiy tariflari
Aytaylik, E- bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. +, × undagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari bo‘lsin.
Agar E to‘plamda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa E ni halqa deyiladi, ya’ni:

Agar E halqada 7. aksioma o‘ringa ega bo‘lsa E kommutativ halqa deyiladi.
Agar E kommutativ halqada 8. bo‘lsa E birlik elementga ega bo‘lgan holda jism deyiladi.
Agar E kommutativ halqadi
8.
9.
aksiomalar o‘rniga ega bo‘lsa, E ni maydon deyiladi.
1-4 aksoimalardan E kommutativ additive gruppa ekanligi kelib chiqadi, uni E halqaning additiv gruppasi deyiladi.
Tarif. Agar bo‘lsa, u holda E halqaning a va b elementlarini nolning bo‘luvchilari deyiladi.
Tarif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan halqani butunlik soxasi deyiladi.
Misollar . Z - butun sonlar to‘plami odatdagidek qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan kommutativ, birlik elementga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi:
2. halqa bo‘ladi.
Tarif. E halqa va E É K ¹ Æ uning qism to‘plami bo‘lib, K xam E dagi amallarga nisbatan halqa bo‘lsa K halqa E halqaning qism halqasi bo‘ladi.

Yüklə 466,37 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   17




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin