Fizika-matematika fakulteti

Yechish. Izlanayotgan aylana markazi aylananing markazi O nuqtadan AB to`g`ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar va OA to`g`ri chiziqqa A nuqtasidan o`tkazilgan perpendikulyarlar kesishgan nuqtada bo`ladi (1-chizma). Agar perpendikulyarlar kesishsa yechim yagona bo`ladi. Yechimga ega bo`lmaydigan holat bu A va B nuqtalar diametral qarama-qarshi nuqtalar bo`lganida ya`ni AB to`g`ri chiziqning o`zi berilgan aylanaga ortogonal bo`lgan hollar tushuniladi.

2-masala. aylana va bu aylana tashqarisida O₁ nuqta berilgan. O₁ markazli va berilgan aylanaga orthogonal aylana o`tkazing.

Yechish. A nuqta OO₁ diametrli aylananing berilgan aylana bilan kesishgan nuqtalaridan biri bo`lsin. U holda (O<sub>1</sub>,│O<sub>1</sub>A│) – aylana izlangan aylana bo`ladi.

Puankare modelini o`rganishda iversiya va uning xossalarini bilish muhim ahamiyat kasb etadi.

2.2. Inversiya va inversion almashtirishlar
(O,r) inversiya deb (yoki O markazli r radiusli aylanaga nisbatan simmetriya) tekislikning istalgan M nuqtasiga OM nurda yotuvchi va

shartni qanoatlantiruvchi M^/ nuqtani mos keltiruvchi almashtirishga aytiladi. O - nuqta inversiya markazi (tekislikda obrazi aniqlanmagan yagona nuqta), r - inversiya radiusi, (O,r) – inversiya aylanasi deyiladi.

Inversiyaning asosiy xossalari:

1. 
   aylana ichidagi nuqtalar aylana tashqarisidagi nuqtalarga va aksincha aylana tashqarisidagi nuqtalar aylana ichidagi nuqtalarga akslanadi;
   
2. 
   inversiya aylanasiga tegishli nuqtalar o`z-o`ziga akslanadi;
   
3. 
   inversiya markazidan o`tuvchi to`gri chiziq oz-oziga akslanadi;
   
4. 
   inversiya markazidan o`tuvchi aylana to`g`ri chiziqqa akslanadi;
   
5. 
   inversiya markazidan o`tmagan aylana aylanaga akslanadi;
   
6. 
   inversiyada chiziqlar orasidagi burchak kattaligi saqlanadi;
   
7. 
   inversiya tekislikdagi boshqa simmetriyalar singari uni ikki marta bajarish bilan ayniy almashtirishga aylanadi.
   

Yuqorida aytib o`tilgan xossalar isboti to`g`ridan-to`g`ri hosil qilinadi. Bu xossalar isboti pedagogika oliy o`quv yurtlari Geometriya kursida o`rganiladi.

8. 
   istalgan inversiya aylanasiga ortogonal aylana o`z-o`ziga akslanadi.