Qutb koordinatalar sistemasi

QUTB KOORDINATALAR SISTEMASI.
Reja:

1. 
   Qutb koordinatalar sistemasi.
   
2. 
   Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog`lanish.
   
3. 
   Qutb koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa
   
4. 
   Sferik va silindrik koordinatalat sistimalari.
   

Qutb koordinatalar sistemasi.

Geometriyada affin va to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi bilan bir qatorda qutb koordinatalar sistemasi ham qaraladi. Ko’plab tadqiqotlarda va egri chiziqning muhim sinflarini o’rganishda qutb koordinatalar sistemasi qo’l kelmoqda.
S hu sistema bilan tanishaylik. Yo’nalishli tekislikda 0 nuqta va bu nuqtadan chiquvchi OP nur va OP nurda yotuvchi birlik vektor olamiz (32- chizma).
Hosil bo’lgan geometrik obraz qutb koordinatalar sistemasi deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.
O nuqtani qutb boshi, OP nur esa qutb o’qi deyiladi.
Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi va ixtiyoriy N nuqta berilgan bo’lsin, bu nuqtaning tekislikdagi vaziyatini ma’lum tartibda olingan ikkita son:

1. 
   OE birlik kesmada o’lchangan masofa (33 - chizma).
   
2. 
   OP nur ON nurning ustiga tushishi uchun burilishi kerak bo’lgan yo’nalishli burchak bilan to’liq aniqlanadi.
   

ni N nuqtaning qutb radiusi, ni N nuqtaning qutb burchagi deyiladi. Ularni birgalikda N nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va ko’rinishda yoziladi. O nuqta uchun , - aniqlanmagan.
Agar o’zgarsa, tekislikni har bir nuqtasi qutb koordinatalar bilan ta’minlanadi.
Qutb koordinatalar sistemasini yasash uchun oriyetirlangan tekislikda Biror O nuqta olamiz va bu nuqtadan chiquvchi Ox o’qi kabi nur yasaymiz.

Bu nurni qutb o’qi va berilgan O nuqtani qutb boshi deymiz. Yana bitta nurni qutb boshidan qo’yib va uni (radianda o’lchanadi) burchakka borib yuqoridagi rasmdagi figurani hosil qilamiz. Qutb koordinatalar sistemasida nuqtaning vaziyati sonlar jufti bilan aniqlanadi. Bunda burchak qutb o’qiga nisbatan xosil qilgan burchag. Qutb boshining koordinatalari , qutb o’qi nuqtalari uchun esa , Bunda xam xuddi trigonometriyadagi kabi soat miliga qarshi burish musbat soat mili bo’yicha burish esa manfiy bo’ladi. Bu yerda nuqtaninig vaziyatini aniqlovchi burchak bir qiymatli aniqlanmaydi, bu burchakning va (bunda n butun son) qiymatlari xam shu nuqtani beradi.
Agar qutb koordinatalardagi ikkita va nuqta quyidagi chizmadagidek berilgan bo’lsa bu nuqtalar orasidagi d masofani topish uchun kosinuslar teoremasidan foydalanamiz: ¹





1-misol. . 33- chizmada berilgan nuqtalar tasvirlangan.


Ravshanki, har qanday juft haqiqiy sonlar uchun tekislikning bitta nuqtasi mavjud bo’lib, bu sonlar shu nuqtaning koordinatalari bo’ladi. Ammo bir nuqtaning o’ziga cheksiz ko’p sonlar mos keladi. Chunki, N nuqtaning koordinatalari bo’lsa, (bu yerda k=0, 1…). Juftlari ham shu N nuqtaning koordinatalari bo’ladi, chunki ON nur OP qutb o’qini burchak qadar burishdan hosil bo’ladi deb faraz qilinsa, u holda OP nurni qadar burishdan ham o’sha nurning o’zini hosil qilish mumkin.
N nuqtaning qutb burchagi qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar orasidan tengsizlikni qanoatlantiradigan qiymatini N nuqta qutb burchaginig bosh qiymati deyiladi. ON nur OP nurga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lsa, 180⁰ ga ikki yo’nalishda burish mumkin, bu vaqtda qutb burchagining bosh qiymati uchun qabul qilinadi.

Nuqtaning qutb va dekart koordinatalari orasidagi bog’lanish.

Tekislikda qutb koordinatalar sistemasi berilgan. Koordinatalar boshi qutb boshi bilan, absissalar o’qining musbat qismi qutb o’qi bilan ustma-ust tushadigan musbat yo’nalishli (О, ) dekart reperini kiritamiz (34-chizma).
Tekislikdagi N nuqtaning qutb koordinatalar dekart koordinatalari x, y bo’lsin.
To’g’ri burchakli ONN₁ uchburchakdan
(17.1)
Nuqtaning qutb koordinatalari ma’lum bo’lsa, uning dekart koordinatalari (17.1) formuladan topiladi.



33-chizma
Agar N nuqtaning dekart koordinatalari ma’lum bo’lsa, uning qutb koordinatalarini ushbu
(17.2)
formuladan topiladi.
Eslatma. N nuqtaning dekart koordinatalaridan qutb koordinatalariga o’tishda formula qutb burchagini qiymatini to’liq aniqlamaydi, chunki buning uchun yana ning miqdori musbat yoki manfiy ekanligini ham bilish kerak. Odatda bu N nuqtaning qaysi chorakda joylashishiga qarab aniqlanadi. Masalan, (17.2) formulada bo’lsa, tg = 1 bo’lib, =45⁰. Lekin, bo’lganda ham tg = 1 bo’lib, emas, bo’lishi kerak, chunki (-3; -3) nuqta uchinchi chorakda joylashgan burchakning qiymati va ishorasini cos , sin ga qarab aniqlash qulayroq.
Qutb koordinatalar sistemasida ikki nuqta orasidagi masofa.
Qutb koordinatalari bilan va nuqtalar orasidagi masofani hisoblash formulasini chiqaraylik.
Tekislikdagi N₁ va N₂ nuqtalarning dekart koordinatalari va bo’lsin. (7.1) formulaga ko’ra
va
U holda
(18.1)
(18.1) qutb koordinatalari bilan berilgan ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash formulasi.
QUTB KOORDINATALAR SISTEMASI Qutb koordinatalar sistemasi ikki o‘lchamli koordinatalar sistemasi bo‘lib, unda tekislikdagi har bir nuqta qutb burchagi va qutb radiusi deb ataluvchi ikkita son orqali aniqlanadi. Ikkita nuqta orasidagi munosabatni radius va burchaklar orqali ifodalash qulay bo‘lgan hollarda qutb koordinatalar sistemasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir. Dekart yoki to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida bunday munosabatlar trigonometrik tenglamalarni qo‘llash orqali amalga oshiriladi. Qutb koordinatalar sistemasi nol nur yoki qutb o‘qi deb ataluvchi o‘q orqali beriladi. Bu nur chiquvchi nuqtaga koordinata boshi yoki qutb deyiladi. Tekislikdagi har qanday nuqta ikkita qutb koordinata-radius va burchak orqali aniqlanadi. Radius (radial koordinata) odatda r harfi bilan belgilanib, nuqtadan koordinata boshigacha bo‘lgan masofaga teng. Burchak koordinata ko‘p hollarda qutb burchagi yoki azimut deb ham yuritiladi. Bu miqdor  harfi bilan belgilanib, berilgan nuqtaga tushish uchun qutb o‘qi buriladigan (soat strelkasiga qarama-qarshi yo‘nalish) burchakka teng. Shu tarzda aniqlangan radial koordinata (radius) 0 dan  gacha bo‘lgan qiymatni qabul qilishi mumkin. Burchak koordinata esa 0 dan 360  gacha bo‘lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Burchak va radius tushunchalari eramizdan avvalgi birinchi ming yillik davrida ham ma’lum bo‘lgan. Grek astronomi Gipparx turli burchaklar uchun vatarlar uzunliklari jadvalini yaratgan. Samoviy jismlarning joylashuv o‘rnini aniqlashda qutb koordinatalar sistemasidan foydalanilganligi haqida ma’lumotlar mavjud. Arximed o‘zining “Spirallar” asarida Arximed spirali deb ataluvchi funksiya tavsiflangan bo‘lib, bu funksiya radiusi burchakdan bog‘liqdir. Biroq grek tadqiqotchilarning ishlarida koordinatalar sistemasini aniqlash to‘liq rivojlantirilmagan. IX asrda fors matematigi Xabbash-al-Xasib kartografik proyeksiya va sferik trigonometriya metodlaridan foydalanib, qutb koordinatalar sistemasidan markazi sferaning biror nuqtasida bo‘lgan boshqa koordinatalar sistemasiga o‘tish masalasini o‘rgangan. Fors astronomi Abu Rayhon Beruniy qutb koordinatalar sistemasi tavsifi qanday bo‘lishi haqidagi g‘oyalarni ilgari surgan. U taxminan 1025 yilda birinchilardan bo‘lib samoviy sferaning qutb ekvi-azimutal tekis taqsimlangan proyeksiyasini tavsiflagan. Qutb koordinatalar sistemasini formal koordinatalar sistemasi sifatida kiritish bo‘yicha turlicha qarashlar mavjud. Qutb koordinatalar sisitemasining paydo bo‘lishi tarixi olib borilgan tadqiqotlarning to‘liq bayoni Garvard universiteti professori Julian Louvel Kulijning “Qutb koordinatalar sistemasining paydo bo‘lishi” nomli ishida yoritilgan. Greguar ge San-Vensan va Bonaventura Kavaleri bir biridan bog‘liqsiz ravishda XVII asrning o‘rtalarida o‘xshash xulosaga kelishgan. San-Vensan 1625 yilda o‘zining shaxsiy izohlarida qutb sistemasini bayon qilgan, uni 1647 yilga kelib nashr qilgan. Kavaleri esa o‘zining ishlarini 1635 yilda chop qilgan, tuzatilgan variant esa 1653 yilda nashrdan chiqqan. Arximed spirali bilan chegaralangan soha yuzini hisoblash uchun qutb koordinatalar sistemasidan foydalangan. Keyinchalik Blez Paskal parabolik yoylar uzunligini hisoblashda qutb koordinatalar sistemasidan foydalangan. Isaak Nyuton tomonidan 1671 yilda yozilgan va 1736 yilda nashr qilingan “Flyuksiya usuli” nomli kitobda qutb koordinatalar sistemalari orasidagi almashtirishlarni o‘rgangan. Yakob Bernulli “Acta eruditorum ” jurnalida 1691 yilda nashr qilingan maqolasida to‘g‘ri chiziqdagi nuqtada sistemadan foydalangan. Ular mos ravishda qutb va qutb o‘qlari deb atalgan. Nuqta koordinatalari qutbgacha bo‘lgan masofa va qutb o‘qigacha bo‘lgan burchak yordamida aniqlangan. Bernullining ishi bu koordinatalar sistemasida aniqlangan chiziqning egrilik radiusini topish masalasiga bog‘ishlangan. "Science and Education" Scientific Journal July 2021 / Volume 2 Issue 7 www.openscience.uz 8 “Qutb koordinatalari” tushunchasining kiritilishi Gregorio Fontana nomi bilan bog‘liq. XVIII asrda u italyan mualliflar leksikoniga kiritilgan. Bu termin ingliz tilida Silvestr Lakruaning “Differensial va integral hisob” traktatining tarjimasi orqali kirib kelgan. Tarjima 1816 yilda Jorj Pikok tomonidan amalga oshirilgan. Uch o‘lchamli fazoda qutb koordinatalarini birinchi bo‘lib Aleksi Klero taklif qilgan, Leonard Eyler esa birinchilardan bo‘lib, mos sistemani ishlab chiqqan. Endi grafik tasvirlar qismiga o‘tamiz. Yuqorida aytib o‘tganimizdek, har bir nuqta qutb koordinatalar sistemasida ikkita koordinata - r yoki  (radial koordinata) va  yoki  (burchak koordinata, qutb burchagi, faza burchagi, azimut, pozitsion burchak) orqali aniqlanadi. r koordinata nuqtadan markazgacha yoki koordinata sistema qutbigacha bo‘lgan masofaga mos keladi.  burchak esa 0 li nurdan soat strelkasi yo‘nalishiga qarama-qarshi yo‘nalishda hisoblangan burchakka teng. Polyar radius tekislikning istalgan nuqtasi uchun aniqlangan va nomanfiy r  0 qiymatni qabul qiladi.  qutb burchak esa 0 qutbdan boshqa barcha nuqtalar uchun aniqlangan va −    qiymatlarni qabul qiladi. Qutb burchak radianlarda o‘lchanadi va qutb o‘qidan boshlab hisoblanadi: - agar burchak qiymati musbat bo‘lsa, musbat yo‘nalishda, ya’ni soat strelkasi yo‘nalishiga teskari yo‘nalishda; - agar burchak qiymati manfiy bo‘lsa, manfiy yo‘nalishda olinadi. Masalan, (3; 60 ) koordinatali nuqta qutb o‘qidan 60 burchak ostidagi nurda, qutbdan 3 birlik masofadagi nuqta bo‘ladi. (3; − 300 ) nuqta ham aynan shu nuqtani ifodalaydi. Qutb koordinatalar sistemasining muhim jihatlaridan biri shundaki, bitta nuqta cheksiz usul bilan tasvirlanishi mumkin. Bunda nuqta azimutini aniqlash uchun qutb o‘qini nuqtaga qarab yo‘naltirish kerak. Agar qo‘shimcha to‘liq aylanish amalga oshirilsa va nuqtaga yo‘nalishi o‘zgarmasa yana dastlabki nuqta hosil bo‘ladi. Umumiy holda (r,) nuqta (r,  n360) yoki (− r,  n360) kabi tasvirlanadi, bu yerda n ixtiyoriy butun son. Qutbni ifodalash uchun (0,) koordinata ishlatiladi.  ning qiymatidan bog‘liqsiz ravishda nuqta o‘zgarmaydi. Sinus va kosinus trigonometrik funksiyalarni qo‘llab qutb koordinatalar sisitemasidan х va у Dekart koordinatalar sistemasiga o‘tish mumkin: х = r cos; y = rsin. Bunda ikkita х va у Dekart koordinatalar r qutb koordinataga o‘tadi: 2 2 2 r = х + у (Pifagor teoremasi).  burchak koordinatani topishda quyidagi ikkita holatni inobatga olish kerak

Foydalaniladigan adabiyotlar ro’yxati

Asosiy adabiyotlar:
1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент. «Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма)
2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 1 ва 2 қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув қўлланма)
Qo’shimcha adabiyotlar:
1. Baxvalov M. Analitik geometriyadan mashqlar to’plami. Toshkent UzMU, 2006 y.
2.K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-част ь. Тошкент, «Ўқитувчи» 2002й.
3.K.X. Aбдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент, “Ўқитувчи” 2004 г.
4.Introduction to Calculus Volume I. pp 7

1^ Introduction to Calculus Volume I. pp 7