Fizika-matematika fakulteti

2.3. Puankare modeli
Bu yerda Lobachevskiy geometriyasining asosiy tushunchalari o`rnida odatiy bo`lmagan nuqta, to`g`ri chiziq, yevklid geometriyasini siljitish yoki ko`proq maxsus tushunchalar ishlatiladi. Bu modelni berish uchun Lobachevskiy geometriyasi asosiy tushunchalarin Yevklid geometriyasidagi maxsus tanlangan tushunchalari orasida “Lo`g`at” tuzib olish kerak bo`ladi.

Puankare modeli uhun bu lo`g`at ushbu ko`rinishda bo`ladi.

Lobachevskiy tekisligi deganda Yevklid tekisligining Q markazli ayalana bilan chegaralangan doirasi ichki qismi tushuniladi. Lobachevskiy tekisligining nuqtasi doiraning ichki nuqtasi bo`ladi. To`g`ri chiziq deganda aylanaga orthogonal aylananing doira ichidagi qismi tushuniladi (demak, aylana diametr bilan ustma-ust tushmagan vatarlari to`g`ri chiziq hisoblanmaydi). Lobachevskiy tekisligida siljitish deganda doiraning ushbu asosiy almashtirishlari tusuniladi:

1) doiraning uning markazi Q nuqta atrofida istalgan burchakka burish;

2) doirani diametriga yoki aylanaga orthogonal istalgan aylanaga nisbatan simmetrik almashtirish.

Shuningdek bu almashtirishlarning kompozitsiyalari.

Bu kabi “nuqta”, “to`g`ri chiziq”, “tekislik”, “tekislikni siljitish” so`zlarni olish bilan Lobachevskiy geometriyasining barcha aksiomalari bajariladi. Demak, Lobachevskiy geometriyasi qarama-qarshiliksiz ya`ni zidsiz geometriya ekan. Bu haqida model muallifi Anri Puankare quyidagi so`zlarni aytgan edi: “Lobachevskiy teoremasini olib uni o`zimiz tuzgan lo`g`at bo`yicha xuddi biror tekstni fransuz tilidan ingliz tiliga tarjima qilgan kabi o`tkazamiz. Natijada biz Yevklid geometriyasida inkor etib bo`lmaydigan natijalarni ko`ramiz.”

Bu o`girish Yevklid geometriyasining zidsizligidan lobachevskiy geometriyasining zidsizligini ko`rsatildi. Shuning uchun ham Anri Puankare: “