«fizika, matematika va informatsion texnologiyalar» kafedrasi

I - bob. Oliy algebra elementlari
§ 1. Determinantlar, xossalari. Kramer qoidasi.
Ikkinchi tartibli determinant deb, ko‘rinishda belgilanuvchi va tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi.
Uchinchi tartibli determinant deb, ko‘rinishda belgilanuvchi va

tenglik bilan aniqlanuvchi songa aytiladi va bunga uchinchi tartibli determenatni xisoblashni birinchi usuli deyiladi.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashni ikkinchi usuli .

3-usuli algebraic to’ldiruvchilar yordamida hisoblash. Bunda berilgan uchinchi tartibli determinantni biror yo’li yoki ustuni orqali yoyiladi. Misol uchun 1-yo’l elementlari boyicha yoyilishi:

Determinantlar quyidagi xossalarga ega:
1⁰. Barcha satrlar va ustunlar o‘rinlari almashtirilsa, ya’ni satrlarni ustun, ustunlarni satr qilib yozilsa, determinant qiymati o‘zgarmaydi.
2⁰. Ixtiyoriy ikki satr (ustun) o‘rinlari almashtirilsa, determinantqiymatining ishorasi o‘zgaradi.
3⁰. Ikki satri (ustuni) bir xil bo‘lgan determinant qiymati nolga teng.
4⁰. Ixtiyoriy satr (ustun) umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
5⁰. Biror satr (ustun) elementlariga boshqa satr (ustun) elementlarini qandaydir songa ko‘paytirib qo‘shishdan determinantqiymatio‘zgarmaydi.
Misol. Berilgan determinantlarni hisoblang.
a) ; b) ; c)
Yechish.

1. 
   
   
2. 
   1 –usul: 2-usul:
   

3-usul:
To’rtinchi tartibli determenadni xisoblash.



Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.
1-ta’rif. Biror n-tartibli determinantning elementining minori deb, shu element turgan yo’l va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1) - tartibli determinantga aytiladi va odatda M_ij orqali belgilanadi.
Masalan.

uchinchi tartibli determinantning a₂₃ elementining minori M₂₃= ikkinchi tartibli determinant bo’ladi.

2-ta’rif. n-tartibli determinantning elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element minorini (-1)^i+j ishora bilan olinganiga aytiladi va orqali belgilanadi.
= (-1)^i+jM_ij
Misol.

determinantning a₄₃ elementining minorini va a₂₁ elementining algebraik to’ldiruvchisini hisoblang.
M₄₃= =3-20-15+8= -24

A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁= -M₂₁= - = -24+3-6+4= -23.

Minor va algebraik to’ldiruvchilar tushunchalari kiritilgandan keyin determinantning yana uchta xossasini ko’rib o’taylik.
7-xossa. Agar determinantning biror i-yo’lida (yoki j-ustunida) elementdan boshqa hamma elementlari nol bo’lsa, u holda bu determinant shu element bilan shu elementning algebraik to’ldiruvchisi ko’paytmasiga teng bo’ladi.
= = (-1)^i+j M_ij .

8-xossa. Har qanday determinant, biror yo’li (yoki ustuni) elementlari bilan shu elementlarning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi.
= a₂₁A₂₁+a₂₂A₂₂+ a₂₃A₂₃ yoki a₁₁A₁₁₊a₂₁A₂₁+ a₃₁A_31.
Determinantning 8-xossasidan foydalanib istalgan tartibli determinantni hisoblash mumkin.
Misol.
=(-5)·(-1)¹⁺¹ +1(-1)¹⁺² +
+(-4)(-1)¹⁺³ +1(-1)¹⁺⁴ = -264 .
9-xossa. Determinantning biror yo’li (yoki ustuni) elementlarining boshqa yo’li (yoki ustuni) elementlarining algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalarining yig’indisi nol bo’ladi.
Masalan. Ikkinchi ustun elementlarini birinchi ustun elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirsak a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁+ a₃₂A₃₁=0 bo’lad