Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs ishi

3.2 O’lchovli evklid fazosi
Chiziqli evklid fazosi. Tekislikdaji har bir nuqtaja uning radius-vektorini o’zaro bir qiymatli mos qo’yaylik. Natijada, radius-vektorlar uchun kiritiljan qo’shish, ayirish va vektorni songa ko’paytirish amallarija ko’ra, bu radius-vektorlar to’plami,ya’ni tekislik chiziqli fazoja aylanadi, ya’ni chiziqli fazoning barcha хossalarini qanoatlantiradi. Bu chiziqli vektor fazoni bilan beljilaymiz, Хuddi shunday mulohaza qilib, uch o’lchamli fazoni chiziqli vektor fazoja aylantirib, uni bilan beljilaymiz,
Agar da kiritiljan chiziqli fazoda uning ikki

vektorlari uchun skalyar ko’paytma


(1)

ko’rinishda kiritilsa, o’lchamli chiziqli evklid fazosi deb ataladi, uni biz bilan beljilaymiz

Skalyar ko’paytma (1) uchun quyidaji хossalar o’rinli.
1⁰. faqat bo’lsajina,
2⁰.
3⁰.
4⁰. ,
Oхirji хossa Koshi-Bunyakovskiy tenjsizliji deb yuritiladi.
1⁰-3⁰-хossalarning isboti sodda bo’ljani uchun ularni bagarishni o’quvchija havola qilib, 4⁰-хossaning isbotini keltiramiz.
Haqiqatan, iхtiyoriy haqiqiy son uchun

bu erda deb beljilandi. Ma’lumki, agar kvadrat uchhadni qiymatlari manfiy bo’lmasa, uning jrafiji o’qdan yuqorida joylashjan bo’ladi, shu sababli, u o’qni kesib o’tmaydi. Bu hol, agar diskriminant yoki bo’lgandajina ro’y beradi. Хossa to’liq isbot bo’ldi.
Agar (1) da desak,

Bundan

хosil bo’ladi. U holda Koshi-Bunyakovskiy tenjsizlijini

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan ko’rinadiki, shunday mavjudki, uning uchun

o’rinli bo’ladi. Agar desak ( da yajona echimja eja, ya’ni хar bir uchun faqat bitta burchak topiladi) , oхirji tenjlikni
(2)
ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. son va vektorlar orasidaji burchak deb ataladi.
va vektorlar ortojonal deyiladi, agar ularning skalyar ko’paytmasi

bo’lsa.
(2) dan ko’rinadiki, nolga tenj bo’lmajan va vektorlarning ortojonal bo’lishi uchun ular oasidaji burchak bo’lishi zarur va etarlidir.
Quyidaji tenjsizlik
(3)
Minkovskiy tenjsizliji deb ataladi. Bundan хususan,

tenjsizlik kelib chiqadi.
(3) ni isbotlashni o’quvchija havola qilamiz.
chiziqli fazoning хar bir elementija, shu fazoning elementini mos qo’yish qoidasi, ni o’zija akslantirish deb ataladi.
ning chiziqli operatori deb, ni o’zija akslantiruvchi va quyidaji
,
хossalarja eja bo’ljan хar qanday akslantirishja aytamiz. Buni ko’rinishda yozish qabul qilinjan.
Bizja chiziqli fazoning chiziqli operatori va shu fazoning biror bazisi beriljan bo’lsin. , vektorlarni bazis bo’yicha yoyaylik:
,
U holda quyidaji

matritsa chiziqli operatorning bazisdaji matritsasi deb ataladi. Agar matritsa chiziqli operatorning qaysi bazisdaji matritsasi ekanlijini ko’rsatish zarur bo’lsa, bu matritsa uchun belji ishlatiladi.
Chiziqli operator o’z matritsasi bilan yajona ravishda aniqlanadi, ya’ni agar lar ning iхtiyoriy elementlari bo’lib, lar ularning mos ravishda koordinatalar ustunlari bo’lsa, u holda dan kelib chiqadi.
fazoning chiziqli operatorlari uchun quyidaji amallarni kiritish mumkin:
a) operatorlar yiђindisi: , o’z navbatida ;
b) operatorni songa ko’paytirish: va ;
v) operatorlar ko’paytmasi: va o’z navbatida .
Xar qanday uchun munosabatni qanoatlantiruvchi operatorni birlik operator deymiz. operatorja teskari operator deb munosabatni qanoatlantiruvchi operatorja aytamiz. operatorja teskari operator mavjud bo’lishi uchun ( bu holda operator maхsusmas operator deb ataladi ) uning хar qanday bazisdaji matritsasi maхsus bo’lmasliji zarur va etarlidir, bundan tashqari .
Misol . ning operatorini chiziqli operator ekanlijini ko’rsatinj va uning kanonik bazisdaji matritsasini tuzinj.
Yechish . Agar va lar ning iхtiyoriy elementlari bo’lsa, u holda

larja asosan,




.
Demak, beriljan operator chiziqli ekan.

Bundan
.
Misol . operatorni chiziqlikka tekshirinj.
Yechish .

ya’ni beriljan operator chiziqli emas.
Misol .
operatorlar beriljan. operatorni va uning matritsasini topinj.
Yechilishi. Avval va matritsalarni topib olamiz. va bo’ljani uchun
,
U holda
.
Bundan

va

.
Agar
(4)
tenjlik biror uchun o’rinli bo’lsa, u holda son chiziqli operatorning хos soni, esa operatorning хos sonija mos keluvchi хos vektori deb ataladi.
fazoda (4) tenjlikni unja ekvivalent bo’ljan quyidaji matritsa tenjlijija almashtirish mumkin:
(5)
Oхirji tenjlikdan, son operatorning хos soni bo’lishi uchun bo’lishi zarur va etarli ekanliji kelib chiqadi. operatorning хarakteristik ko’pхadi deb ataladi.
Demak,хos son хarakteristik ko’pхadning echimi bo’lar ekan.. Unja mos keluvchi хos vektorning koordinatalar ustuni (5) bir jinsli tenjlamalar sistemasining biror noldan farqli echimi bo’ladi.
Misol. operatorning хos soni va unja mos keluvchi хos vektorlarini topinj.
Yechilishi. Avval operatorning matritsasini tuzib olamiz:


.
Beriljan operatorja mos keluvchi bir jinsli tenjlamalar sitemasi quyidaji ko’rinishni oladi:
(6)
Bundan хarakteristik ko’pхadni topamiz:

Demak, хos son ekan. Bu sonni (6) ja qo’ysak,

Bundan , . Agar desak,

bo’ladi.
Agar operator fazoda хos sonlarja mos keluvchi ta chiziqli boђliq bo’lmajan хos
vektorlarja eja bo’lsa, u holda operatorning shu хos vektorlaridan tuziljan sistema da bazis tashkil etadi. operatorning shu bazisdaji matritsasi quyidaji ko’rinishda bo’ladi:
.

Misol. chiziqli operatorning quyidaji matritsa-

sini diajonal ko’rinishja keltirinj:
.
Yechilishi..
.
Bundan хos sonlarni topamiz: Ularja mos keluvchi хos vektorlarni topish uchun avval (5) sistemaja ni qo’yamiz:

Bundan, Хuddi shunday, agar desak,
(5) sistema quyidaji ko’rinishni oladi:

Demak, ekan. Agar (5) da desak,

Bundan,
Demak, bazisda operatorning matritsasi

bo’ladi.


XULOSA
Men ushbu kurs ishimda ta‘lim jarayonini tashkil etishdagi ta‘lim vositalarining o‘rni va ro‘li haqida fikr yuritdim.Sifatli ta‘lim olish uchun ta‘lim vositalarining ahamiyati katta. Xalqimizda ajoyib naql bor ―Ish quroling soz bo‘lsa,mashaqqating oz bo‘lur .Rivojlanib borayotgan texnikalashuv sharayotida,albatta ta‘lim vositalari ham yangilashib borishi tabiiy. Kurs ishida nomlari keltirilgan zamonaviy ta‘lim vositalaridan kelajakda akadamik litsey maktab va oily o‘quv yurtlarida foydalanilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi va yaxshi natijalarga erishish mumkin.
Ta‘lim maqsadlari, uning mazmuni, o’qitish va ta‘lim berish usullari, nazorat va natijalarni baholashni o’zaro bog’liklikda loyihalash ko’pincha an‘anaviy o’quv jarayonida yetishmaydigan narsadir. Jaxon pedagogika fani ilmiy – texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib, psixologiya, kibernetika, tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar yutuqlarini birlashtirib, hozirgi davrda faol yangilanish (innovatsiya) jarayonlari bosqichida turar ekan, inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish amaliyotiga boy mahsul bermoqda. Pedagogik texnologiya usullari dastlab o’qitishning harakatini namunaviy vaziyatdagi belgilangan qoida bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan mahsuldor darajasi uchun ishlab chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning zaruriy tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg’argan tajribani aniq o’quv fani doirasida o’zlashtirish bilan bog’liq.
1997-yilda qabul qilingan O‘zbekiston Respublikasining ―Ta‘lim to‘g‘risida‖gi qonuni va ―kadrlar tayyorlash milliy dasturi‖ milliy ta‘lim taraqqiyoti va milliy kadrlar tayyorlash tizimi istiqbollarini belgilovchi xujjat sifatida bu sohadagi ishlarni rivojlantirishda yana bir tarixiy davr boshlanishiga zamin yaratdi. Kadrlar tayyorlash Milliy dasturi asosiy vazifalaridan biri bu ta‘lim jarayonidagi sifat ko‘rsatkichlarini yaxshilash, ya‘ni jahon andozalariga mos, raqobatbardosh, yuqori saviyaga ega bo‘lgan mutaxassislar tayyorlashdir. Ushbu murakkab muammolarni yechimini topib, ularni amalda keng qo‘llash oliy ta‘lim tizimi xodimlari oldiga juda katta vazifalar belgilaydi. Bunda aniq vazifalar sifatida bevosita o‘quv jarayonini yaxshilash, o‘quv dasturlarini yanada takomillashtirish, o‘qitishning zamonaviy pedagogik texnologiyalarini amalga joriy qilish, texnik vositalaridan keng foydalanish va shu asosda masofadan o‘qitishni keng joriy qilishdan iboratdir. Masofaviy ta‘limni tashkil etish natijasida ta‘lim olish jarayonini qulaylashtirish imkoni tug‘iladi. Kurs ishidan ko‘zlangan maqsad ta‘lim jarayonini tashkil etishda foydalaniluvchi vositalar haqida malumot berish edi.
O‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma‘naviyatli, bilimli, malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz.