II BOB 2.1 O‘lchovli funksiyalar Bizga Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam va unda aniqlangan haqiqiy qiymatli funksiya berilgan bo‘lsin.
3.1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun to‘plam o‘lchovli bo‘lsa, funksiya to‘plamda o‘lchovli deyiladi. 3.1-misol. funksiyaning o‘lchovli ekanligini ko‘rsating.
Yechilishi..Ixtiyoriy uchun
tenglik o‘rinli. va to‘plamlar o‘lchovli. Demak, ixtiyoriy uchun to‘plam o‘lchovli ekan. Ta’rifga ko‘ra, funksiya da o‘lchovli funksiya bo‘ladi.
3.2-misol. Agar funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, u holda ixtiyoriy lar uchun quyidagi to‘plamlarning har biri o‘lchovli bo‘lishini isbotlang:
Yechilishi..Faraz qilaylik, o‘lchovli funksiya bo‘lsin, u holda ta’rifga ko‘ra, ixtiyoriy uchun to‘plam o‘lchovli bo‘ladi.
1) tenglikdan, hamda o‘lchovli to‘plamning to‘ldiruvchisi o‘lchovli ekanligidan to‘plamning o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi.
2) tenglikdan, hamda o‘lchovli to‘plamlar kesishmasi o‘lchovli ekanligidan to‘plamning o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi.
3) to‘plamning o‘lchovli ekanligini ko‘rsatamiz:
Bu yerda to‘plam 2) ko‘rinishdagi to‘plam bo‘lgani uchun u - o‘lchovli. O‘lchovli to‘plamlarning sanoqli sondagi kesishmasi (6.7-teoremaga qarang) o‘lchovli bo‘lgani uchun to‘plam o‘lchovli bo‘ladi.
4) to‘plamning o‘lchovli ekanligi ta’rifdan, 3) dan hamda tenglikdan kelib chiqadi.
5) tenglikdan hamda to‘ldiruvchi to‘plamning o‘lchovliligidan kelib chiqadi.
3.3-misol. Agar ixtiyoriy uchun 3.2-misoldagi 1), 4), 5) ko‘rinishdagi to‘plamlarning birortasi o‘lchovli bo‘lsa, u holda funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘lishini isbotlang.
