Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs ishi

ASOSIY QISIM
I BOB

1. 
   Ishorali o’lchov
   

Faraz qilaylik , biror -additiv -o`lchovga ega bo`lgan E to`plamda jamlanuvchi funksiya berilgan bo`lsin . U holda 16 – ma`ruzadagi 5-teoremaga asosan bu funksiya E to`plamning har qanday o`lchovli A qismida ham jamlanuvchi bo`ladi . Agar tayinlangan funksiya uchun quyidagi Lebegning aniqmas integrali

(1)
ni qarasak , Lebeg integralining -additivlik xossasiga asosan (1) tenglik bilan aniqlangan to`plam funksiyasi - additiv o`lchovning manfiy emaslik xossasidan tashqari barcha xossalariga ega bo`ladi (chunki , agar E to`plamda bo`lsa , har qanday o`lchovli to`plam uchun bo`ladi ) . Bu esa qiymatlari to`plami manfiy sonlardan iborat bo`lgan holni ham o`z ichiga oluvchi ixtiyoriy to`plam funksiyalari sinfini o`rganishga olib keladi .
1.1-ta`rif . Biror to`plamlar sistemasida aniqlangan to`plam funksiyasi uchun shu sistemadan olingan har qanday o`zaro kesishmaydigan soni sanoqli , to`plamlarda
tenglik o`rinli bo`lsa , bunday to`plam funksiyasi - additiv to`plam funksiyasi deyiladi .
1.2-ta`rif. -additiv o`lchovga ega bo`lgan E to`plamning o`lchovi qism to`plamlaridan iborat sistemada aniqlangan har qanday -additiv to`plam funksiyasi ishorali o`lchov deyiladi .
1.3-ta`rif. Agar istalgan uchun bo`lsa , to`plam ishorali o`lchovga nisbatan manfiy (musbat) to`plam deyiladi . Manfiy va musbat to`plamlarning mavjudligi haqidagi quyidagi teoremani isbbotlaymiz .
1.1-teorema. Agar ishorali o`lchov Z(E) sistemada aniqlangan bo`lsa , u holda E to`plamning shunday o`lchovli qismi mavjudki , ishorali o`lchovga nisbatan to`plam manfiy , to`plam esa musbat bo`ladi
Isbot . Faraz qilaylik
(2)
bo`lsin. Agar ishorali o`lchovga nisbatan manfiy bo`lgan o`lchovli to`plamlarning ketma- ketligi uchun
(3)
munosabat o`rinli bo`lsa , ushbu
(4)
tenglik bilan aniqlangan to`plam ishorali o`lchovga nisbatan manfiy bo`lib, bo`ladi . Haqiqatan ham , to`plamning ishorali o`lchovga nisbatan manfiy ekanligi ravshan. (2) munosabatga asosan to`plam uchun ushbu tengsizlikka ega bo`lamiz . (4) tenglikka asosan esa munosabat o`rinli . Bundan tengsizlik kelib chiqadi . Demak ,

bo`lib , bundan da ushbu munosabatni olamiz . Bundan tenglik kelib chiqadi .
to`plam teorema shartini qanotlantiruchi to`plam ekanligini, ya`ni to`plamning ishorali o`lchovga nisbatan musbat to`plam ekanligini ko`rsatamiz .
Faraz qilaylik, E to`plam ishorali o`lchovga nisbatan musbat bo`lmasin. U holda shunday to`plam mavjudki , bo`ladi. belgilash kiritamiz . to`plam ishorali o`lchovga nisbatan manfiy bo`la olmaydi . Aks holda to`plamni to`plamga qo`shib ,

tengsizlikka ega bo`lamiz . Bu esa sonning aniqlanishiga zid . Demak , shunday n natural son mavjudki , uning uchun to`plamning qismi bo`lgan to`plam topilib ,
.
tengsizlik o`rinli bo`ladi . Bu tengsizlikni qonatlantiruvchi barcha n natural sonlarning eng kichigini orqali belgilaymiz :
.
Bu fikrni to`plam uchun takrorlab ,
munosabatni qonatlantiradigan to`plamni topamiz . Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz . Natijada bo`sh bo`lmagan

to`plamni xosil qilamiz ( chunki va barcha uchun . Tuzulishiga asosan to`plam ishorali o`lchovga nisbatan manfiy to`plamdir. Buni to`plamga qo`shib , yana sonning aniqlanishiga zid bo`lgan natijaga kelamiz . Demak , barcha o`lchovli to`plamlar uchun , ya`ni to`plam ishorali o`lchovga nisbatan musbat to`plam .
E to`plamning musbat va manfiy to`plamlarning yig`indisi shaklida ifodalashi , ya`ni yoyilmasi uning Xan ma`nosidagi yoyilmasi deyiladi .
E to`plamning Xan ma`nosidagi yoyilmasi ishorali o`lchovga nisbatan ekvivalentlikkacha yagonadir , ya`ni agar
va
bo`lsa, u holda istalgan uchun va bo`ladi. Haqiqatan, va munosabatlardan mos ravishda va tengsizliklarni olamiz . Bulardan tenglik kelib chiqadi .Ushbu tenglik ham huddi yuqoridagi singari isbotlanadi . Bu oxirgi ikki tenglikdan esa ) tenglik kelib chiqadi. Ushbu tenglik ham shuning singari isbot etiladi .
Agar biz - algebrada va to`plam funksiyalarini mos ravishda

tengliklar orqali aniqlasak , ikkita -additiv o`lchovga ega bo`lamiz . Bundan ishorali o`lchovni ushbu ko`rinishda yozish mumkinligi kelib chiqadi . Ishorali o`lchovning bu ko`rinishi uning Jordan ma`nosidagi yoyilmasi deyiladi .
Endi – additiv o`lchov bo`lib , sistema E to`plamning barcha o`lchovli qism to`plamlaridan tuzilgan – algebra bo`lsin .
Agar biror to`plam hamda ishorali o`lchov uchun har bir da va har qanday o`lchovli uchun bo`lsa , u holda to`plam ishorali o`lchovning tashuvchisi deyiladi .
Agar har qanday yolg`iz nuqtali A to`plam uchun bo`lsa , bunday ishorali o`lchov ishorali uzluksiz o`lchov deyiladi. Nihoyat, agar ishorali o`lchovni tashuvchisi o`lchovi 0 bo`lgan biror to`plamdan iborat bo`lsa, u o`lchovga nisbatan singulyar ishorali o`lchov deyiladi.
Lebeg integralini -adituvlik xossasiga asosan ( 17 – ma`ruzadagi
1 –teorema) uchbu tenglik orqali aniqlangan to`plam funksiyasi - addittiv ichorali o`lchov bo`ladi.
Lebeg integralini absolyut uzluksizlik xossasidan esa (17 – ma`ruzadagi 3 – teorema) ishorali o`lchovning o`lchovga nisbatan absolyut uzluksizligi kelib chiqadi.