Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs ishi

3.1-teorema. Agar va funksiyalar to‘plamda o‘lchovli bo‘lsa, u holda ularning yig‘indisi ayirmasi va ko‘paytmasi to‘plamda o‘lchovli bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda funksiya ham E da o‘lchovli bo‘ladi.
Shunday qilib, biz o‘lchovli funksiyalar to‘plamining arifmetik amallarga nisbatan yopiqligini ko‘rsatdik.
Matematik analizdan ma’lum bo‘lgan tekis va nuqtali yaqinlashish ta’riflarini keltiramiz. o‘lchovli to‘plamda funksiya va o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
3.3-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha va ixtiyoriy lar uchun bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga tekis yaqinlashadi deyiladi.
3.4-ta’rif. Agar har bir da bo‘lsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi ga nuqtali yaqinlashadi deyiladi.
Quyidagi teorema o‘lchovli funksiyalar to‘plamining limitga o‘tish (nuqtali yaqinlashish) amaliga nisbatan ham yopiqligini ifodalaydi.
3.2-teorema. Agar to‘plamda o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi har bir da ga yaqinlashsa, u holda limit funksiya to‘plamda o‘lchovli bo‘ladi.
3.5-misol. Agar o‘lchovli funksiya bo‘lsa, u holda funksiya ning ixtiyoriy o‘lchovli qismida ham o‘lchovli funksiya bo‘lishini ko‘rsating.
Yechilishi.. Haqiqatan ham, ixtiyoriy uchun

tenglik o‘rinli. va to‘plamlar o‘lchovli bo‘lganligi uchun to‘plam ham o‘lchovli bo‘ladi. Ta’rifga ko‘ra, funksiya da o‘lchovli bo‘ladi.
2.2 O‘lchovli funksiyalar tuzilishi
4.1-teorema. Faraz qilaylik to’plamda o’lchovli va deyarli chekli qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya berilgan bo’lsin. U holda ixtiyoriy uchun shunday o’lchovli chegaralangan funksiya topiladiki, bunda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
4.1-ta’rif. funksiya to’plamda aniqlangan bo’lsin va Quyidagi hollarda funksiya nuqtada uzluksiz deb yuritiladi: 1) agar nuqta to’plamning yakkaangan nuqtasi bo’lsa; 2) agar va munosamatdan munosabat kelib chiqsa.
funksiya to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya to’plamda uzluksiz deb yuritiladi.
Quyidagi teorema uzluksiz va o‘lchovli funksiyalar o‘rtasidagi muhim bog‘lanishni ifodalaydi.