Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs ishi

1.2 Radon-Nikodim teoremasi
Endi biror ishorali o`lchovning -additiv o`lchovga nisbatan absolyut uzluksizligi ma`lum bo`lganda, ularni (1) ko`rinishda ifodalash mumkinmi degan savol tug`iladi. Bu savolga Radon – Nikadim teoremasi javob beradi. Dastlab quyidagi yordamchi lemmani isbotlaymiz.
2.1-Lemma. Agar aynan 0 ga teng bo`lmagan o`lchov o`lchovga nisbatan absolyut uzluksiz bo`lsa, u holda shunday natural n va bo`lgan o`lchovli B to`plam topiladiki, B to`plam ishorali o`lchovga nisbatan musbat to`plam bo`ladi.
Isbot. Har bir ishorali , o`lchovga mos kelgan Han yoyilmasini yozib, quyidagi to`plamlarni tuzamiz: ,
U holda barcha n uchun tengsizlikdan ushbu tenglizlik kelib chiqadi. Bu tengsizlik har qanday n uchun o`rinli ekanligidan munosabatga ega bo`lamiz. Demak, 1- teoremaga asosan bo`lib, ushbu tengsizlik har bir natural son uchun o`rinli ekanligidan tengsizlik kelib chiqadi. o`lchov o`lchovga nisbatan absolyut uzluksiz bo`lgani uchun bo`ladi. Bundan va to`plamning tuzilishidan shunday natural son topiladiki, bo`ladi. Agar shu uchun deb olsak, lemma isbotlangan bo`ladi.
2.2-teorema (Radon-Nikodim). Agar ishorali o`lchov hamda additiv o`lchov - algebrada aniqlanib ishorali o`lchov o`lchovga nisbatan absolyut uzliksiz bo`lsa, u holda X to`plamda o`lchov bo`yicha jamlanuvchi shunday f(x)funksiya mavjudki, har bir uchun tenglik o`rinlidir.
funksiya ishorali o`lchovning o`lchov bo`yicha hosilasi deyiladi va deyarli bir qiymatli aniqlanadi, ya`ni agar va bo`lsa, u holda bo`ladi.
Isbot. Jordan yoyilmasiga asosan o`lchovga nisbatan absolyut uzluksiz bo`lgan har bir ishorali o`lchov ga nisbatan absolyut uzluksiz bo`lgan va o`lchovlarning ayirmasi sifatida yozilishi mumkin. Shuning uchun teoremani musbat ishorali o`lchov uchun isbotlash kifoya. Shunday qilib, umumiy aniqlanish sohaga ega bo`lgan va o`lchovlar berilgan bo`lib, o`lchov o`lchovga nisbatan uzluksiz bo`lsin. Har qanday o`lchovli to`plam uchun o`lchov bo`yicha jamlanuvchi manfiy bo`lmagan hamda tengsizlikni qanoatlantiradigan funksiyalar to`plamini orqali belgilaymiz. Faraz qilaylik, bo`lsin. to`plamdan ushbu

formula shartni qanoatlanturuvchi funksiyalar ketma-ketligini olamiz va funksiyani tuzib, ekanini ko`rsatamiz. Haqiqatan ham, o`lchovli ixtiyoriy to`plam bo`lsin. U holda E ni o`zaro kesishmaydigan shunday to`plamlarning yig`indisi sifatida ifodalash mumkinki, ularning har biri uchun bo`lganda bo`ladi. Bundan

munosabatni olamiz. Demak, . Agar desak, u holda . Demak, Lebeg integrali ostida limitga o`tish haqidagi Levi teoremasiga muvofiq .

Agar deb olsak, u holda funksiyaning ta`riflanishidan bo`ladi. Endi o`lchovning aynan nol ekanligi ko`rsatilsa, teoremaning birinchi qismi isbotlangan bo`ladi. Faraz qilaylik, aynan nolga teng bo`lmasin, ya`ni har qanday uchun bo`lsin, u holda lemmaga asosan shunday va bo`lgan o`lchovli to`plam topiladiki,

tengsizlik ixtiyoriy uchun bajariladi.
Agar (bu yerda funksiya to`plamning harakteristik funksiyasi) deb olsak, uni ixtiyoriy o`lchovli to`plamda o`lchov bo`yicha integrallab,

tengsizlikka ega bo`lar edk. Bu esa ekanini ko`rsatadi.
Ikkinchi tomondan, (5) munosabatga ko`ra

tengsizlik o`rinli bo`lib, bu sonining aniqlanishiga zid. Demak, ekan. Shunday qilib,
(6)
tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyaning mavjudligi isbotlandi.
Endi teoremaning ikkinchi qismini ya`ni funksiyaning yagonaligini isbotlaymiz.
(6) tenglikni qanoatlantiruvchi ikki va funksiyalar mavjud bo`lsin. U holda har bir to`plam uchun

tengliklar o`rinli. Har qanday va natural sonlar uchun va to`plamlarni mos ravishda quyidagicha aniqlaymiz:

va to`plamlarning ta`riflanishiga asosan
munosabat o`rinli. Bundan va ning o`lchov ekanligidan, kelib chiqadi. ham shunga o`xshash isbotlanadi.
Ushbu

tenglik va to`plamlarning ta`riflanishidan kelib chiqadi.
Bundan va o`lchovning additivligidan

tengsizlik o`rinli. o`lchov bo`lgani uchun, bu tenglikdan

tenglik kelib chiqadi.