4.2-teorema (Borel).Faraz qilaylik to’plamda o’lchovli va deyarli chekli qiymatlarni qabul qiluvchi funksiya berilgan bo’lsin. U holda ixtiyoriy va ixtiyoriy uchun da uzluksiz bo’lgan shunday funksiya mavjudki, bunda tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda agar bo’lsa, funksiyani ushbu shartni qanoatlantiruvchi e‘tib tanlash mumkin.
Quyidagi xossalar uzluksiz va o‘lchovli funksiyalar o‘rtasidagi muhim bog‘lanishni ifodalaydi.
4.1-natija. segmentda o’lchovli va deyarli chekli qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy funksiya uchun, o’lchov bo’yicha ga yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi mavjuddir.
Ushbu xossadan va o’chov bo’yicha yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligi xossasini ifodalavchi Riss teoremasiga ko’ra quyidagi teorema kelib chiqadi.
4.3-teorema(Freshe) segmentda o’lchovli va deyarli chekli qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy funksiya uchun, deyarli ga yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi mavjuddir.
Yuqoridagi teorema yordamida o’lchovli funksiyalar nazariyasida muhim ahamiyatga ega bo’lgan Luzin teoremasini isbotlash mumkin.
4.4-teorema (Luzin). kesmada aniqlangan funksiya o‘lchovli bo‘lishi uchun ixtiyoriy son uchun da uzluksiz bo‘lgan shunday funksiya mavjud bo‘lib, tengsizlik bajarilishi zarur va yetarli.
4.2-natija. kesmada uzluksiz funksiya o‘lchovlidir.
4.1-misol. kesmada aniqlangan
