Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs ishi

5.5. Deyarli yaqinlashish. Bizga o’lchovli to‘plamda aniqlangan o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin.
5.3-ta’rif. Agar to‘plamda aniqlangan funksiyalar ketma-ketligining funksiyaga yaqinlashmaydigan nuqtalari to‘plamining o‘lchovi nol bo‘lsa, ya’ni

tenglik dagi deyarli barcha lar uchun o‘rinli ( yoki
)
bo’lsa , u holda funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga deyarli yaqinlashadi deyiladi
5.5-misol. funksiyalar ketma-ketligining nol funksiyaga deyarli yaqinlashishini ko‘rsating.
Yechilishi..

_Demak,

Ta’rifga asosan, funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda nol funksiyaga deyarli yaqinlashadi.
5.1-teorema. Agar to‘plamda o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi ga deyarli yaqinlashsa, u holda limit funksiya ham o‘lchovlidir.
Ma’lumki, tekis yaqinlashishdan nuqtali yaqinlashish, nuqtali yaqinlashishdan esa deyarli yaqinlashish kelib chiqadi. Quyidagi munosabatlar
o‘rinli:
Egorov teoremasi deyarli yaqinlashish bilan tekis yaqinlashish orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi.
5.2-teorema (Egorov). chekli o‘lchovli to‘plamda funksiyalar ketma-ketligi ga deyarli yaqinlashsin. U holda ixtiyoriy uchun shunday to‘plam mavjudki, uning uchun quyidagilar o‘rinlidir:
1)
2) to‘plamda funksiyalar ketma-ketligi ga tekis yaqinlashadi.
5.5. O‘lchov bo‘yicha yaqinlashish. Bizga o’lchovli to‘plamda aniqlangan o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi va o‘lchovli funksiya berilgan bo‘lsin.
5.4-ta’rif. Agar ixtiyoriykichik uchun

tenglik bajarilsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi.
5.3-teorema. Agar o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda funksiyaga deyarli yaqinlashsa, u holda ketma-ketlik to‘plamda ga o‘lchov bo‘yicha ham yaqinlashadi.
“O‘lchov bo‘yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqadimi?” degan savol tug‘iladi. Umuman olganda o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishdan deyarli yaqinlashish kelib chiqmaydi.
5.6-misol. Har bir uchun yarim intervalda funksiyalarni quyidagi usul bilan aniqlaymiz



bu yerda i=1,…k . Bu funksiyalar har biri yarim intervalda o’lchovlidir.
Bu funksiyalarning quyi va yuqori indekslari yigindisining o’sish tartibida joylashtirsak, funksiyalar ketma-ketligi hosil bo’ladi. Ushbu ketma-ketlikning nol funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishini va har bir uchun nolga yaqinlashmasligini ko’rsating.
Yechilishi.. Har bir uchun shunday va sonlar topiladiki, tenglik bajariladi va cheksizga intilishi bilan ham cheksizga intiladi. Demak, ixtiyoriy kichik uchun

Oxirgi munosabat funksiyalar ketma-ketligining nol funksiyaga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashishini anglatadi.
Endi funksiyalar ketma-ketligi intervaldagi har bir nuqtada nolga yaqinlashmasligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy nuqtani olamiz. Shunday va sonlar topiladiki,

bo‘ladi. Demak,

5.4-teorema. Agar o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi to‘plamda ga o‘lchov bo‘yicha yaqinlashsa, u holda undan ga deyarli yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.