Funksiya monotonligi. Funksiya botiqligi va qavariqligi Burilish nuqta. Asimptotalar

4. Funksiya botiqligi va qavariqligi
Ta`rif. funksiya kesmada uzluksiz bo`lib, ixtiyoriy
nuqtalar uchun


(10)
(11)
tengsizlik o`rinli bo`lsa, funksiya kesmada qavariq (botiq) deyiladi. Chizmada bo`lib, (10) tengsizlik bajariladi. Bu funksiya kesmada qavariq bo`ladi. (11) xolning chizmasini chizish va kesmada botiq funksiya grafigi haqida fikrlashni o`quvchiga tavsiya etamiz.
Masalan. funksiya grafigi oraliqda botiq (chizmaga qarang).

4-teorema. kesmada va kamida oraliqda mavjud bo`lsin. Unda, agar bo`lsa, funksiya kesmada botiq (qavariq) bo`ladi.

Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
Masalan. funksiya uchun da . Demak, funksiya oraliqda botiq.

6. 
   Burilish nuqta.
   

Ta`rif. funksiya nuqtaning oralig’ida botiq (qavariq) bo`lib, oralig’ida qavariq (botiq) bo`lsa, nuqta funksiyaning burilish nuqtasi, nuqta esa funksiya grafigining burilish nuqtasi deyiladi.
5-teorema. (Burilish nuqta bo`lishining zaruriy sharti). funksiyaning burilish nuqtasi bo`lib, nuqtaning biror atrofida mavjud bo’lib, uzluksiz bo`lsa, bo`ladi.
6-teorema (Burilish nuqta bo`lishining etarli sharti). funksiya nuqtada uzluksiz va nuqtani biror atrofida ishorasini o`zgartirsa, nuqta funksiyaning burilish nuqtasi bo`ladi.
5,6- teoremalarni isbotsiz qabul qilamiz.
Masalan. funksiya uchun bo`lib, (zaruriy shart) va da da ( etarli shart), demak, (0;0) nuqta funksiya grafigining burilish nuqtasi bo`ladi.
5. Asimptotalar.
a) Vertikal asimptotalar.
Ta`rif. bo`lsa, x=c to`g’ri chiziq funksiya grafigiga vertikal asimptota deyiladi.
Masalan: to`g’ri chiziq funksiya grafigiga vertikal asimptota bo`ladi, chunki
b) Vertikal bo`lmagan asimptotalar.
Ta`rif. bo`lsa, to`g’ri chiziq funksiya grafigiga dagi asimptotasi deyiladi. Bunda, agar bo`lsa, gorizontal asimptota, bo`lsa, og’ma asimptota deyiladi. va dagi asimptota ham shunday ta’riflanadi.
7-teorema. to`g’ri chiziqning funksiya grafigiga asimptota bo`lishi uchun

chekli limitlarning mavjud bo`lishi zarur va etarli.
Bu teoremani ham isbotsiz qabul qilamiz.
Misol. funksiya asimptotalarini aniqlang.
Yuqorida vertikal asimptota ekanligi ko`rsatilgan edi.

va

bo`lgani uchun to`g’ri chiziq funksiya grafigiga gorizontal asimptota bo`ladi (chizmaga qarang).