Funksiyasının

^1)GÖRKƏM LİMİTLƏR
^{Əgər verilmiş istənilən qədər kiçik}   0 ^{ədədinə qarşı elə}  ( )  0 ^tapmaq

mümkündürsə ki,
f (x)
funksiyasının təyin oblastındakı 0  x  a  

şərtini öləyən istənilən
x  a üçün
f (x)  A  
bərabərsizliyi ödənilsin,

onda A ədədinə
x  a şərtində
f (x) ^{funksiyasının limiti deyilir və}

lim
xa
^{f (x)  A} kimi yazılır.

Funksiyaların limitlərinin hesablanmasında aşağıdakı limitlərdən geniş istifadə edilir:

lim ^{sin x}  1
(birinci görkəmli limit),

x0 _{x
1 x} 1

lim (1 )
x _x
 lim ^1  ^
 0
^{ e  2,71828...} (ikinci görkəmli limit).

2.3)Funksyanın nöqtədə kəsilməzliyi.Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı.

2.3)Funksyanın nöqtədə kəsilməzliyi.Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı.


§7. Funksiyanın kəsilməzliyi. Kəsilmə nöqtələrinin təsnifatı

Tərif1. Tutaq ki,
y  f (x)
funksiyası
x  x₀
nöqtəsində və onun

müəyyən ətrafında təyin olunmuşdur. Əgər

lim
xx₀
f (x)  f (x₀ )


(1)

şərti ödənərsə,
deyilir.
y  f (x)
^{funksiyasına} x  x₀ ^{nöqtəsində kəsilməz funksiya}

Bu tərifdən görünür ki,
y  f (x)
funksiyasının
x₀ ^{nöqtəsində}

kəsilməz olması üçün aşağıdakı şərtlər ödənməlidir:

1. 
   y  f (x) ^funksiyası x₀ ^{nöqtəsində təyin olunmalıdır,}
   
2. 
   x  x₀ ^{nöqtəsində bu funksiyanın sonlu limiti olmalıdır,}
   

3. 
   lim
   

xx₀
f (x)  f (x₀ ) olmalıdır.

^{Tərif2. (} " "^dilində):   0 ^{ədədinə qarşı}  ( )  0 ^ədədini

tapmaq olarsa ki,
f (x) ^{-in təyin oblastına daxil olan,}
x  x₀
  şərtini

^{ödəyən bütün} x ^{-lər üçün}
f (x)  f (x₀ )  
bərabərsizliyi ödənilsin, onda

f (x) ^{funksiyasına} x₀ ^{nöqtəsində kəsilməz funksiya deyilir.}
Tərif3. (artım mənada nöqtədə kəsilməzliyin tərifi)

lim y  0 ^.

x0

Əgər


lim
xx₀0


f (x)  f (x₀ )

( lim

xx₀0


f (x)  f (x₀ ) )

bərabərliyi ödənilərsə, onda
f (x)
^{funksiyasına} x₀
nöqtəsində soldan

(sağdan) kəsilməyən funksiya deyilir.
Funksiyanın verilmiş nöqtədə kəsilməyən olması üçün zəruri və kafi şərt, bu funksiyanın həmin nöqtədə həm sağdan, həm də soldan kəsilməz olma-

sıdır.
şərt
f ( x)
funksiyasının
x₀ ^{nöqtəsində kəsilməz olması üçün zəruri və kafi}

f (x₀  0)  f (x₀ )  f (x₀  0)
bərabərliyinin ödənilməsidir.
(2)

f (x) ^{funksiyasına o zaman} [a,b] ^{parçasında kəsilməyən funksiya} deyilir ki, o (a,b) intervalında kəsilməyən, a nöqtəsində sağdan kəsilməyən, b nöqtəsində isə soldan kəsilməyən olsun.
Parçada kəsilməyən funksiyanın xassələri:
T1 (Veyerştrasın 1-ci teoremi). Parçada kəsilməyən funksiya həmin par-

parçada məhduddur.
T2 (Veyerştrasın 2-ci teoremi). Parçada kəsilməz funksiya həmin par- çada özünün dəqiq yuxarı və dəqiq aşağı sərhəddini alır.
T3 (Bolsano-Koşi). Parçada kəsilməyən funksiya bu parçanın uclarında müxtəlif işarəli qiymətlər alırsa, onda bu funksiya parçanın daxilindəki ən azı bir nöqtədə sıfra çevrilir.

T4. Əgər
y  f (x)
^funksiyası [a,b] ^{parçasında kəsilməzdirsə, bu par-}

çada özünün ən böyük və ən kiçik qiymətlərini alır.

Əgər
f (x) ^və g(x) ^funksiyası x₀
nöqtəsində kəsilməyəndirsə, onda

f (x)  g(x)^,
f (x)  g(x) ^,
f (x) / g(x) ,
(g(x)  0)
^{funksiyaları da} x₀

nöqtəsində kəsilməyəndir.

u  (x)
^funksiyası x₀
nöqtəsində,
y  f (x)
funksiyası isə

u₀  (x₀ )
^{nöqtəsində kəsilməzdirsə, onda} u  f ((x))
mürəkkəb funk-

siyası
x₀ ^{nöqtəsində kəsilməyəndir.}

f (x)
^{funksiyası üçün} x₀
^{nöqtəsində (1) şərti ödənilmədikdə,} x₀

nöqtəsi
f (x)  ^{in kəsilmə nöqtəsi adlanır. Deməli} x₀
nöqtəsi
f (x)

funksiyasının kəsilmə nöqtəsidirsə, onda (2) münasibətindəki bərabərliklərin heç olmasa biri pozulmalıdır.

1. 
   Əgər
   

x₀ ^nöqtəsi
f (x)
funksiyasının kəsilmə nöqtəsidirsə və bu

nöqtədə funksiyanın sonlu
f (x₀  0) ^və
f (x₀  0) ^{sol və sağ limitləri varsa,}

onda x₀ nöqtəsinə
f (x) funksiyasının birinci növ kəsilmə nöqtəsi deyilir:

1. 
   f (x) funksiyasının x₀ kəsilmə nöqtəsində
   

f (x₀  0)  f (x₀  0)  f (x₀ )

münasibəti ödənildikdə,
mə nöqtəsi deyilir.
x₀ nöqtəsinə
f (x) -in aradan qaldırıla bilən kəsil-

2. 
   Funksiyanın x₀ nöqtəsində
   

f (x₀  0)  f (x₀  0)

münasibəti ödınildikdə, x₀ nöqtəsinə
si deyilir və
f (x) -in sonlu sıçrayışlı kəsilmə nöqtə-

d  f (x₀  0)  f (x₀  0)

fərqi
f (x) -in
x₀ nöqtəsindəki sıçrayışı adlanır. ^d ədədi, x₀
nöqtəsində

f (x) funksiyasının necə dəyişdiyini xarakterizə edir.
Beləliklə, funksiyanın birinci növ kəsilmə nöqtələri aradan qaldırıla bilən və sonlu sıçrayışlı kəsilmə nöqtələrindən ibarət olur.

2. 
   Əgər
   

f ( x)
funksiyasının x₀
kəsilmə nöqtəsində
^{f ( x0  0)} və

f ( x₀  0) limitlərinin heç olmasa biri yoxdursa ya da sonsuzluğa bərabərdir-

sə, onda x₀ nöqtəsinə
f ( x) funksiyasının ikinci növ kəsilmə nöqtəsi deyilir.

4. 
   Funksyanın törəməsinin tərifi
   

1. 
   Törəmənin tərifi. Tutaq ki,
   

y  f (x) ^{funksiyası qeyd olunmuş x}

^{nöqtəsinin müəyyən ətrafında təyin olunmuşdur.} x ^{arqumentinə bu nöqtədə}

elə
x ^{artımı verək ki,}
x x
x ^{-in qeyd olunan ətrafına daxil olsun.}

Aşağıdakı nisbətə baxaq:
y _ f (x  x)  f (x)

x x
(1)
^Tərif. x  0 ^{şərtində (1) nisbətinin sonlu limiti varsa, bu limitə}
y  f (x) ^{funksiyasının x nöqtəsindəki törəməsi deyilir və}

y^ ,
f '(x) , ^dy , ^{df (x)}

dx dx
simvollarından biri ilə işarə olunur. Tərifə əsasən

yaza bilərik.
f '(x) 
lim
x0
f (x  x)  f (x)


x

(1) nisbətinin
x  0 ^{şərtində sonlu sağ (sol) limiti varsa, bu limitə}

f (x) ^{funksiyasının x nöqtəsində sağ (sol) törəməsi deyilir:}

f_ '(x)  lim
x0
x0
f (x  x)  f (x) _{, ( f}
x ^
'(x)  lim
x0
x0
f (x  x)  f (x)_{) .}
x

f (x) ^{funksiyasının x nöqtəsində törəməsinin olması üçün həmin} nöqtədə bu funksiyanın sonlu sol, sağ törəmələrinin varlığı və bir-birinə

bərabər olması zəruri və kafi şərtdir:
f '(x)  f_ '(x)  f_ '(x) ^.

Verilmiş x nöqtəsində (x(a,b)) törəməsi olan funksiyaya həmin nöqtədə diferensiallanan funksiya deyilir. (a,b) intervalının hər bir nöqtəsində törə-

məsi olan funksiya həmin intervalda diferensiallanan funksiya adlanır. Funk- siyanın törəməsinin tapılması əməlinə funksiyanın diferensiallanması deyilir

5. 
   Törəmə cədvəli
   

(x^ )' x^1
( R) ^,
( x )' ,

(log _a
x)'
1 _,
x ln a
(a^x )' a^x ln a,

(ln x)' ¹
x
(x  0) ^,

(e^x )' e^x ,
(sin x)' cos x ^,
(cos x)' sin x ,

(tgx)'
1 _,
cos² x

(ctgx)' 
1 _,
sin ² x

(arcsin x)'


(arctgx )'
1
1
,
( x  1) ,
(arccosx)'  ¹
( x  1) ,

1  x ²
(arcctgx )'  ¹ ,
1  x ²
(shx)' chx ,
(chx)' shx ,

(thx)'
1 _,
ch ² x

(cthx)' 
1


sh ² x

6. 
   Törəmənin həndəsi və mexaniki mənası
   

Funksiya artımının arqument artımına olan nisbətinin ∆𝑥 → 0 olduqda sonlu limiti varsa, bu
limitə 𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiyasının 𝑥0 nöqtəsində törəməsi


deyilir və 𝑓′(𝑥), 𝑦′, 𝑑𝑦 , 𝑦 və s. simvollarından biri ilə 𝑑𝑥

işarə olunur: 𝑓′(𝑥0)= limΔ𝑦= lim𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

Hər bir 𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiyası praktikada müxtəlif pro seslərin ifadəsidir. Onda belə çıxır ki, funksiyanın törəməsi həmin prosesin verilmiş andakı və ya verilən nöqtədəki dəyişmə surətidir.
Məsələn, əgər cisim 𝑡 zamanından asılı olaraq 𝑠 = 𝑠(𝑡) qanunu ilə hərəkət edirsə 𝑠′(𝑡) onun
zamanının verilmiş andakı sürəti olar. Deməli, törəmənin mexaniki mənası ani surət deməkdir:
𝑣(𝑡) = 𝑠′(𝑡).

7. 
   Funksyanın diferensialı
   

y  f (x)
^{funksiyasının} x ^{nöqtəsindəki} x

arqument artımına uyğun

^olan y ^{funksiya artımı}
y  Ax  (x)x

şəklində göstərmək mümkün olarsa,
f (x) ^{funksiyasına x nöqtəsində diferen-}

^{siallanan funksiya deyilir. Burada} A ^ədədi f '(x) ^{-in qeyd olunmuş x}
nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir və lim  (x)  0 .
x0
Funksiyanın verilən nöqtədə diferensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərt, bu funksiyanın həmin nöqtədə sonlu törəməyə malik olmasıdır.

Diferensiallanan
y  f (x)
^{funksiyasının} x ^{nöqtəsindəki artımının}

x ^{-dən xətti asılı olan baş hissəsinə (} f '(x)x ⁾
diferensialı deyilir və
f (x) ^{-in x nöqtəsindəki}

df (x)  f '(x)x ⁽ dy  y'x ^{) (3)}

kimi işarə olunur.
f (x)  x ^olarsa,
f '(x)  1  df (x)  dx  1x 

 x  dx  x olduğu üçün (3)-ü belə yazırlar:
df (x)  f '(x)dx ^.

^{Tutaq ki,} u(x) ^və v(x)
funksiyalardır, onda:
x nöqtəsində diferensiallanan hər hansı

1. 
   ^{dC  0} , ^{C  const} . 3. d(u  v)  du  dv .
   
2. 
   d(Cu)  Cdu . 4. d(uv)  udv  vdu .
   

5. 
   
   u
   ^{d ( ) }
   

v
vdu  udv _v2
, v(x)  0 .

5. 
   df (u)  f '(u)du
   

(diferensial şəklinin invariantlığı).

Əgər
x ^{-in modulu kiçik olduqda, onda aşağıdakı təqribi bərabərlik}

doğrudur:
x  dy
və ya
f (x  x)  f (x)  f '(x)x ^.

8. 
   Qeyri müəyyənliklərin açılışı.Lopital qaydası.
   

1. 
   ⁰ və
   

0
^ şəklində qeyri-müəyyənliklər. Törəmənin köməyilə aşağıdakı


bəzi qeyri-müəyyənliklərin açılışını öyrənək:
⁰ , ^ ,0 ,   ,1^ ,0⁰ , ^{0 .}
0 

lim f (x)  lim (x)  0 ^{( lim}
f (x)  lim  (x)   ^{) olduqda,}
f (x)

xa
xa
xa
xa
(x)

nisbətinə
⁰ ( ^ ) şəklində qeyri-müəyyənlik deyilir. Bu halda _lim ^{f (x)}

^{0  xa} (x)
limitinin hesablanması 0/0 (∞/∞) şəklində qeyri-müəyyənliyin açılışı deyilir. 0/0 və (∞/∞)şəklindəki qeyri-müəyyənliklərin açılış üsullarından biri

də
_lim f (x)
^xa (x)
_{ lim} f '(x)
^xa '(x)

, ('(x)  0 )

bərabərliyi ilə ifadə olunan Lopital qaydasıdır.

9. 
   Teylor düsturu və Makloren düsturu
   

Teylor düsturu. Fərz edək ki,
y  f (x)
funksiyası a nöqtəsinin müəy-

yən ətrafında
n 1^{tərtibə qədər (} n 1^{daxil olmaqla) kəsilməyən törəməyə}

malikdir. Onda a nöqtəsinin bu ətrafına daxil olan hər bir x üçün

f (x)  f (a) 
f '(a) 1!
(x  a) 
f ''(a) 2!
(x  a)²
...
_ f ^{( n)} (a)
n!
(x  a)ⁿ
 R_n (x)
(3)

düsturu doğrudur. Bu düstura
f (x)
funksiyası üçün Teylor düsturu deyilir.

Burada R_n (x) qalıq həddi adlanır və bu hədd Laqranj şəklində
f ^{( n1)} (a  (x  a))

R_n (x) 
(n 1)!
(x  a)^n1
, ( 0    1)

n
düsturu ilə təyin olunur. Qalıq həddi Peano şəklində R (x)  o(( x  a)ⁿ )
kimi yazılır.
a  0 ^{olduqda Teylor düsturundan alınan,}

f (x)  f (0) 
f '(0) _{x }
1!
f ''(0) 2!
x² ... 
f ^{( n)} (0)


n!
xⁿ 
_f ( n1) _(x)

(n 1)!

_xn1

bərabərliyi
f (x) funksiyası üçün Makloren düsturu adlanır.

Qalıq həddin limiti:
lim R (x)  0 ^.

n
n

Bəzi elementar funksiyaların Makloren düsturuna görə ayrılışları:
_{x x}2 _xn
e  1 x  _2! ... _n!  R_n (x) ,

_x3 _x5
_{n x}2n1

sin x  x   ... (1) 3! 5!
(2n 1)! ^{ R2n (x) ,}

_x2 _x4 _{n x}2n

cos x  1  ... (1) 2! 4!
_(2n)!  R_2n1 (x) ,

2
ln(1 x)  x  ^x

1)
2
 ^x3 ... ( 3
n1 ^xn
n
 R_n (x) ,

_{(1  x)  1 x } ( 1) _{x2  ...} ( 1)...(  (n 1)) _{xn  R (x).}
2! ⁿ

10. 
    Funksyanın monotonluq şərti
    

1. 
   Funksiyanın monotonluq şərtləri. Teorem 1 (funksiyanın sabit
   

olması). Tutaq ki,
y  f (x) funksiyası [a,b] parçasında kəsilməyən və

(a,b) intervalında diferensiallanandır.
f (x) funksiyasının [a,b] -də sabit

olması üçün onun
f '(x) törəməsinin (a,b) intervalının bütün nöqtələrində

sıfra bərabər olması zəruri və kafi şərtdir.

Teorem (zəruri şərt).
(a,b) intervalında diferensiallanan

y  f (x)
funksiyasının bu intervalda azalmayan (artmayan) olması üçün

zəruri və kafi şərt
(a,b) intervalının bütün nöqtələrində
f '(x)  0 (

f '(x)  0 ) olmasıdır.
Teorem (kafi şərt). Əgər


f (x) funksiyası (a,) intervalında diferen-

siallanan olub, bütün intervalda
f '(x)  0
( f '(x)  0
) şərti ödənilərsə,

onda
f (x) funksiyası (a,b) intervalında artır (azalır).
Funksiyanın artdığı yaxud azaldığı intervallar onun monotonluq inter-

valları adlanır. Yəni, diferensiallanan funksiyanın monotonluq intervalları funksiyanın birinci tərtib törəməsinin işarəsini dəyişmədiyi intervallar ola- caqdır.

f '(x)  0 olan nöqtələrə
f (x)
funksiyasının stasionar nöqtələri

deyilir. Kəsilməyən funksiyanın birinci tərtib törəməsinin sıfra çevrildiyi və ya bu törəmənin olmadığı nöqtələrə funksiyanın böhran nöqtələri deyilir.

11. 
    . İbtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral anlayışı.
    

^{Tutaq ki,} [a,b] ^{parçasında (intervalında, yarımintervalında və s.)}

təyin olunmuş mişdir.
f (x)
və diferensiallanan
F (x)
funksiyaları veril-