Funksiyanın böhran nöqtələri. Onun maksimumları və minimumları

Funksiyanın böhran nöqtələri. Onun maksimumları və minimumları
Funksiyanın təyin oblastında törəməsinin təyin olunmadığı və yaxud sıfra bərabər olduğu daxili nöqtələrə funksiyanın böhran nöqtələri deyilir.

funksiyasının (şək1)-də təsvir olunmuş qrafikini nəzərdən keçirməklə bu funksiyanın  böhran nöqtələrinin belə xüsusiyyətlərini göstərmək olar.  və  nöqtələrinə kifayət qədər yaxın olan bütün nöqtələrdə funksiyasının qiymətləri uyğun olaraq   və  qiymətlərindən kiçik deyil, eləcə də  və  nöqtələrinə kifayət qədər yaxın olan nöqtələrdə bu funksiyasının qiymətləri uyğun olaraq  və  qiymətlərindən böyük deyil.

Tərif 1. nöqtəsinin elə ətrafı varsa ki və bu ətrafdakı bütün -lər üçün


Şəkil 2 Şəkil 3 Şəkil 1


ödənilərsə, onda  nöqtəsinə funksiyasının minimum nöqtəsi deyilir (şək2).
Tərif 2. nöqtəsinin elə ətrafı varsa ki və bu ətrafdakı bütün -lər üçün



ödənilərsə , onda  nöqtəsinə funksiyasının maksimum nöqtəsi deyilir (şək3).
Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrinə həmin funksiyanın ekstremum nöqtələri, funksiyanın həmin nöqtələrdəki qiymətlərinə funksiyanın ekstremumları dryilir. Latın sözü olan ekstremus- “ekstremum”, azərbaycanca başqalarından çox fərqlənən , kənar mənasını verir.
Beləliklə ,  və  nöqtələri funksiyasının minimum nöqtələri,  və  nöqtələri funksiyasının maksimum nöqtələridir. Qeyd edək ki, və nöqtələri funksiyasının ekstremum nöqtələri deyil(şək 1); çünki, bu nöqtələrin hər biri üçün onların daxil olduğu və bütünlüklə funksiyanın təyinoblastında yerləşən interval seçmək mümkün deyil.
Göstərək ki, funksiyanın ekstremum nöqtələri onun böhran nöqtələridir.

Teorem 1-Ferma teoremi.  nöqtəsi funksiyasının ekstremum nöqtəsidirsə və həmin nöqtədə törəməsi varsa, onda törəmə sıfra bərabərdir: 
İsbatı. Əksini fərzetmə metodu ilə isbat edək.

Tutaq ( müəyyənlik üçün) ki.  minimum nöqtəsidir. Fərz edək ki,

Onda 
olduğundan, limitin tərifinə əsasən müsbət ədədi üçün   nöqtəsinin elə ətrafı var ki, bu ətrafın istənilən  nöqtəsi üçün



olar, yəni


buradan

və  olduqda   Bu isə  -ın minimum nöqtəsi olmasına ziddir.  halı da oxşar qayda ilə ziddiyyətə gətirir. Beləliklə ,  fərziyyəsi doğru deyil, ona görə   Maksimum nöqtəsi üçün isbat oxşar qayda ilə aparılır. Ferma teoremi ekstremumun ancaq zəruri şərtidir:  nöqtəsində törəmənin sıfra bərabər olmasından həmin nöqtədə funksiyanın ekstremumunun varlığı çıxmır. Məsələn  funksiyasının törəməsi nöqtəsində sıfra çevrilir, lakin bu nöqtədə funksiyanın ekstremumu yoxdur( şək.4)

Şəkil 4 Şəkil 5 Şəkil 6

Misal 1.  funksiyasını nəzərdən keçirək (şək 5). Bu funksiyanın nöqtəsində törəməsi yoxdur. Deməli böhran nöqtəsidir. Aşkardır ki, nöqtəsində funksiyanın minimumu var.
Misal 2.  funksiyasını nəzərdən keçirək (şək.6). Qrafikdən görünür ki. nöqtəsində funksiyanın ekstremumu yoxdur. Bu nöqtədə funksiyanın törəməsi də yoxdur.
Ferma teoremindən çıxır ki, funksiyanin ekstremumunu axtardıqda , birinci növbədə, onun böhran nöqtələrini tapmaq lazımdır. Lakin yuxarıdakı misallardan göründüyü kimi , müəyyən böhran nöqtəsinin böhran nöqtəsi olub-olmaması əlavə tədqiqat tələb edir. Bu məsələdə nöqtədə ekstremumun varlıgı haqqında aşagıdakı kafi şərtlər çox kömək edir.
Ekstremumun varlığının I kafi şərti
Teorem 2. funksiyası  nöqtəsində kəsilməzdirsə və   intervalında  intervalında isə  olarsa onda   nöqtəsi funksiyasınin maksimum nöqtəsidir.
Başqa sözlə :  nöqtəsində funksiyanın törəməsi öz işarəsini müsbətdən mənfiyə dəyişirsə , onda  maksimum nöqtəsidir.

İsbatı.  aralığında  və funksiyası  nöqtəsində kəsilməz olduğundan, funksiyanın artan olmasının kafi şərtinə və ona aid qeydə əsasən alınır ki,  funksiyası  aralığında artır: deməlı  aralığında bütün -lər üçün  aralığında funksiya azalır(isbatı oxşardır), deməli  aralığında bütün -lər üçün 

Beləliklə,  aralığından bütün -lər üçün  yəni  nöqtəsi funksiyasınin maksimum nöqtəsidir.
Teorem 3. funksiyası  nöqtəsində kəsilməzdirsə və  intervalında  intervalında isə  olarsa onda  nöqtəsi funksiyasınin minimum nöqtəsidir.
Ekstremumun varlığının II kafi şərti
Teorem 4.  şərti daxilində  olarsa, funksiyanın  nöqtəsində maksimumu,  olduqda isə minimumu var.