Funksiyasının

Teorem (Nyuton-Leybnis teoremi). Əgər
f (x)

funksi-

yası ^{[a, b]} parçasında kəsilməzdirsə, onda ^{x [a, b]}

nöqtəsində

 ^x ^'

Ф^(x)  ^ _ f (u)du ^
 f (x)
(2)

 
 ^a  _x

bərabərliyi doğrudur, başqa sözlə müəyyən inteqralın yuxarı sərhəddə görə törəməsi inteqralaltı funksiyanın həmin

sərhəddəki qiymətinə bərabərdir.

14. 
    ^{ə t i c ə.} [a, b] ^{parçasında kəsilməz olan} f ( x)
    

x
funksiyasının həmin parçada ibtidai funksiyası var və _ f (u)du
a

inteqralı onun ibtidai funksiyalarından biridir.
Teorem (inteqral hesabının əsas teoremi). Əgər

[a, b]

parçasında kəsilməz olan

f (x)

funksiyasının ibtidai

funksiyalarından biri F (x) olarsa, onda
b
_ f (x)dx  F (b)  F (a)
a

bərabərliyi doğrudur.

Buna Nyuton-Leybnis düsturu deyilir.

a
(1) düsturunun sağ tərəfindəki fərqi çox vaxt qısa şəkildə

a
F(b)  F(a)  F(x) ^b
və ya
F (b)  F (a)  F (x)^b

kimi yazırlar. Onda (1) düsturu
b

a
_ f (x)dx  F (x) ^b
a
şəklinə düşür.

18. 
    Müəyyən inteqralda dəyişənin əvəz edilməsi
    

Bir çox hallarda verilən müəyyən inteqralın hesablanmasını asan- laşdırmaq üçün xüsusi üsullardan istifadə edilir. Belə xüsusi üsullardan biri də dəyişənin əvəz edilməsi üsuludur.

Teorem. Əgər: 1)
f (x)

funksiyası

[a, b]

parçasında

kəsilməzdirsə; 2)
x  (t)

funksiyası və onun

^(x)

törəməsi

[, ]

parçasında kəsilməzdirsə; 3)

[, ]

parçasında

^{a  ()  (t)  ()  b} şərtləri ödənilirsə, onda


b ^

_ f (x)dx  _ f [(t)]^(t)dt
(1)

a 

bərabərliyi doğrudur.

deyilir.
(1)-ə müəyyən inteqralda dəyişənin əvəz edilməsi düsturu

Q e y d 1. Qeyri-müəyyən inteqraldan fərqli olaraq,

müəyyən inteqralı (1) düsturu ilə hesablayarkən, inteqralın sərhədləri əvəzləməyə uyğun olaraq dəyişdiyinə görə, köhnə dəyişənə qayıtmaq lazım deyil.

19. 
    Müəyyən inteqralda Hissə-hissə inteqrallama düsturu
    

^Teorem. [a, b] ^{parçasında kəsilməz diferensiallanan} u  u(x) ^və
v  v(x) ^{funksiyaları üçün}
b b

a
_udv  uv ^b  _ vdu
(1)

a a

bərabərliyi doğrudur.

(1) düsturu müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama düsturu adlanır.

20. 
    Müstəvi fiqurların sahəsinin hesablanması
    

1^{∘ . Müstəvi fiqurun sahəsinin hesablanması. Məlumdur ki,}

[a, b]
parçasında mənfi qiymətlər almayan kəsilməz
y  f (x)

^{funksiyasının qrafiki, x  a ,} x  b ^{düz xətləri və} Ox ^{oxu ilə əhatə}

^olunan aABb ^{əyrixətli trapesiyanın sahəsi}
b
S  _ f (x)dx
a


(1)

düsturu ilə hesablanır (şəkil 22).

Əgər
f (x)  0,
x [a, b]
^{olarsa, yəni} aABb ^{əyrixətli trapesiyası}

Ox oxundan aşağıda yerləşərsə (şəkil 23), onda (1) müəyyən inteqralının qiyməti mənfi ədəd olduğundan, həmin sahə
y


^A y=f(x) _B

14. 
    ^a x
    

Şəkil 22. Şəkil 23.

düsturu ilə hesablanır.
b
S  _ f (x)dx
a

Əgər
f (x)
funksiyası [a, b] parçasında işarəsini bir neçə

dəfə dəyişərsə, onda həmin fiqurun sahəsini tapmaq üçün
^{inteqrallama parçasını,} f (x) ^{funksiyasının işarəsinin sabit olduğu}
hissələrə ayırıb, o hissələrə uyğun (1) düsturu ilə tapılan sahələri cəmləmək lazımdır.
^{Əgər fiqur,} x [a, b] ^üçün f (x)  g(x) ^{şərtini ödəyən iki}

kəsilməz
y  f (x),
y  g(x)
əyriləri və
^{x  a ,} x  b ^{düz xətləri ilə}

əhatə olunarsa, onda onun sahəsi yuxarıdan, uyğun olaraq,
f (x)

^və g(x) ^{funksiyalarının qrafikləri ilə hüdudlanan əyrixətli tra-}

Şəkil 24. Şəkil 25.

pesiyaların sahələri fərqinə bərabər olur (şəkil 24), yəni


b b b
S  _ f (x)dx  _ g(x)dx  _[ f (x)  g(x)]dx . (2)
a a a
Əgər f (x) və g(x) funksiyalarının qrafikləri [a, b]
parçasında bir neçə dəfə kəsişərsə (şək.25), onda fiqurun sahəsini

tapmaq üçün, inteqrallama parçasını
f (x)  g(x)
fərqinin işarəsi

sabit olduğu hissələrə ayırıb, həmin hissələrin sahələrini (2) düsturu ilə hesablayıb alınan nəticələri cəmləmək lazımdır.