Funksiyasının

T ə r i f.
x [a,b] ^üçün
F^(x)  f (x)

^{bərabərliyi ödənilərsə, onda} F (x) ^{funksiyasına həmin parçada} f (x)
funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.
Məsələn, ^sin x^  cos x olduğundan, F (x)  sin x

funksiyası
x  (,)
üçün
f (x)  cos x funksiyasının ibtidai

funksiyasıdır.
^{T e o r e m (ibtidai funksiyanın varlığı haqqında)1.} a, b

parçasında kəsilməz var.
f (x)
funksiyanın bu parçada ibtidai funksiyası

^{T e o r e m 2. Əgər F (x) funksiyası} (a,b) ^{intervalında f (x) -in}
ibtidai funksiyasıdırsa,onda C sabiti üçün F (x)  C funksiyası da
f (x) -in ibtidai funksiyadır.

T e o r e m 3. Əgər
F₁(x)
^və F₂ (x)
funksiyaları (a, b) inter-

valında
f (x)
funksiyasının istənilən iki müxtəlif ibtidai funksiya-

lardırsa, onda onlar bir-birindən bir sabitlə fərqlənir, yəni
F₁ (x)  F₂ (x)  C olur.

T ə r i f.
f (x)
funksiyasının
[a, b]
parçasında bütün

F (x)  C
ibtidai funksiyalar çoxluğuna
f (x)
funksiyasının həmin

parçada qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və _ ^{f (x)dx}
edilir, onda tərifə əsasən
_ ^{f (x)dx  F(x)  C} .
kimi işarə

Burada _ ^ simvolu inteqral işarəsi, ^{f (x)} -inteqralaltı funksiya,
^{f (x)dx} - inteqralaltı ifadə, ^x inteqrallama dəyişəni və C ixtiyari sabiti ədəddir.
Verilmiş funksiyanın ibtidai funksiyasının tapılması əməlinə
funksiyanın inteqrallanması deyilir. İnteqrallama əməli diferen- siallama əməlinin tərsidir.
Qeyri-müəyyən inteqral həndəsi olaraq müstəvi üzərində bir
parametrli ^{y  F (x)  C} əyriləri ailəsini təyin edir. Belə əyrilərə

inteqral əyriləri deyilir.
y  f (x)
funksiyasının
M ₀ (x₀ , y₀ )

nöqtəsindən keçən inteqral əyrisinin tənliyi

y  y₀  F(x)  F(x₀ ) ^{və ya} şəklində olur.
y  F(x)  y₀  F(x₀ )

. Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

1^{0 . Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqralaltı funksiyaya} bərabərdir:

_ f (x)dx^  (F (x)  C)^  F ^(x)  f (x) ^.
2^{0 . Qeyri-müəyyən inteqralın diferensialı inteqralaltı ifadəyə} bərabərdir:
d _ f (x)dx (_ f (x)dx)^dx  f (x)dx .
3⁰ . Funksiyanın diferensialının qeyri-müəyyən inteqralı həmin funksiya ilə ixtiyari sabitin cəminə bərabərdir:
_dF(x)  _ F^(x)dx  _ f (x)dx F(x)  C .
4^{0 .Sabit vuruğu inteqral işarəsi xaricinə cıxarmaq olar, yəni}
A  const ^{olarsa, onda}
_ Af (x)dx  A_ f (x)dx .
5⁰ . Sonlu sayda kəsilməz funksiyaların cəbri cəminin qeyri- müəyyən inteqralı bu funksiyaların inteqrallarının cəbri cəminə bərabərdir:
_[ f₁ (x)  f₂ (x) ...  f_n (x)]dx  _ f₁ (x)dx  _ f₂ (x)dx ...  _ f_n (x)dx.

^{6 0} . Əgər F (x) funksiyası
f (x) -in ibtidai funksiyası olarsa, onda


^{f (ax  b)dx  1 F (ax  b)  C} , a  0 .
a

12. 
    Əsas inteqrallar cədcəli
    

^1.0dx  C, C  const	11.  ^dx ln sin x	tg x 2	 C
2.   x1 x dx   1  C, (  1)	12.  ^dx arcsin ^x C a ^2  x^2 ^a (a  x  a)
3.  ^dx ln x  C x e^xdx  e^x  C	13.  ^dx arccos ^x C a^2  x^2 ^a (a  x  a)
x ^4.a^xdx  ^a C ln a	14.  ^dx ^1ln ^a^^x C . a^2  x^2 ^2^a^a^^x
5. sin xdx  cos x  C	15. ^dx ^1ln x^2  a^2 ^2^a			x  a x  a		 C .
6. cos xdx  sin x  C	16. ^dx ln x ^2  a ^2		x 		x^2  a ^2		 C
7. ^dx tgx  C cos^2 x	17. shxdx  chx  C .
8. ^dx ctgx  C sin ^2 x	18. chxdx  shx  C .
9. ^dx ^1arctg ^x C x^2  a ^2 ^a^a	19.  ^dx thx  C . ch^2 x
10.  ^dx  ^1arcctg ^x C x ^2 a ^2^a^a	20.  ^dx cthx  C sh^2 x

13. 
    Qeyri müəyyən inteqralda dəyişəni əvəz etmə üsulu.
    

^{Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki,} _ f (x)dx ^{-in hesablanmasında} x ^{inteqrallama dəyişənini yeni kəsilməz diferen-}

siallanan
x  (t)
funksiyası ilə əvəz etməklə, inteqralaltı funk-

siyanı daha sadə şəklə gətirib hesablamaq mümkün olur.
^{Fərz edək ki,  (t) funksiyası} ;   ^{parçasında kəsilməz diferen-
siallanan funksiyadır və onun qiymətləri müəyyən bir} a; b ^{parça-
sında yerləşir. Onda} a; b ^{parçasında kəsilməz olan f (x) funksiyası} üçün

_ f (x)dx  _ f [(t)]^(t)dt
(1)

düsturu doğru olar. (1) düsturuna qeyri-müəyyən inteqralda dəyi- şəni əvəzetmə düsturu deyilir.
Qeyd 1. (1) bərabərliyinin sağ tərəfindəki inteqralı hesab-
ladıqdan sonra alınan ifadədə x  (t) əvəzləməsindən istifadə edib köhnə x dəyişəninə keçmək lazımdır.

Qeyd 2. Bəzən
x  (t)
əvəzləməsindən deyil, bunun

t   (x) kimi tərs əvəzləməsindən istifadə etmək daha əlverişi olur.

Bu halda t   (x) və
dt   ^(x)dx
-dən

_ f (t)dt _ f [ (x)] ^(x)dx əvəzetmə düsturu alınır.


f ^(x) _dx f (x)
şəklində inteqralları hesablamaq üçün
t  f (x) ,

dt  f ^(x)dx əvəzləməsindən istifadə etmək lazımdır. Onda
_ ^{f (x)} dx  _ ^dt  ln t  ln f (x)  C .
f (x) t

14. 
    Qeyri-müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama düsturu
    

Tutaq ki,
u  u(x)
^və v  v(x)
funksiyaları hər hansı aralıqda

kəsilməz törəməyə malikdir. Bu funksiyaların hasilinin diferen- sialını tapaq:

Şərtə görə u^v

d (uv)  udv  vdu ^.
və uv^ funksiyaları kəsilməzdir, onda bu eyniliyin

hər iki tərəfini inteqrallamaq olar:
_d (uv)  _u^vdx  _uv^dx ,

və ya
_d (uv)  _vdu  _udv .

_ d(uv)  uv  C olduğundan, onda
_^{udv  uv } _^vdu . (1)
(1) düsturuna qeyri-müəyyən inteqralda hissə-hissə inteqrallama düsturu deyilir.

15. 
    Sadə rasional kəsrlərin inteqrallanması
    

P(x) ^və Q(x) ^{cəbri çoxhədlilər olduqda}
P(x)


Q(x)
şəklində kəsrə rasional

funksiya və ya rasional kəsr deyilir. Burada
P(x)
çoxhədlisinin

^dərəcəsi Q(x) ^{-in dərəcəsindən kiçik olduqda rasional kəsr düzgün,} əks halda isə düzgün olmayan kəsr adlanır.
Aşağıdakı düzgün rasional kəsrlərə, uyğun olaraq, I,II,III, IV
növ sadə kəsrlər deyilir.