Funksiyasının

I. ^A
x  a
, II.
A
(x  a)ⁿ
(2  n  N ) ^,

III.
Ax  B


x ²  px  q
Ax  B
( ^p 2  q  0) ,
4
_p 2

IV.
(x ²
 px  q)ⁿ
(2  n  N ,
^{ q  0)} .
4

Burada A, B, p, q, a  R . Bu sadə rasional kəsrlərin
inteqralları aşağıdakı kimi hesablanır.

1. 
   
   
   ^{A dx  Aln x  a  C} .
   

x  a

2. 
   
    ⁿ
   Adx _
   

(x  a)
A_(x  a)^n
dx  A
(x  a)^n1


 n 1
^{ C  A 1  C} .
^{1 n} (x  a)^n1

3. 
   

Ax  B _{dx }

 ²
x  px  q
^A (2x  p)  (B  ^Ap )


2 2 _{dx }
x ²  px  q

_ A 2x  p
dx  (B  ^Ap)
dx _

^{2 } x²  px  q ^{2 } x²  px  q
 ^p 

_ A d (x²  px  q)
 (B 
Ap₎
^d ^{x } 




 ²  _

^{2 } x²  px  q
₂ 
 ^{x }

^p ²

2 _
 ^ q 

^p ²

4 _

 ^A ln ^x²  px  q^ ^{2B  Ap} arctg ^{2x  p}  C .
2

4. 
   Bu növ sadə kəsrin inteqralı rekurrent və ya gətirmə düstur vasitəsilə hesablanır:
   

_{In } 2n  3 _ 1 _{ In 1 } 1 _ 1 _ 1 _,

2n  2 _k ²
2n  2 _k ²
_(t 2 _{ k} 2 ₎ n 1

16. 
    Müəyyən inteqralın tərifi Və xassələri
    

^{Tutaq ki,} [a, b] (a  b)
parçasında təyin olunmuş
f (x)
funksiyası

^{verilmişdir. Bu parçanı} a  x₀  x₁  ...  x_n1  x_n  b ^{nöqtələri va-}

^{sitəsilə ixtiyari qaydada n sayda kiçik} x_{k 1} , x_k  (k 1, n)
^{larına bölək . Belə} x₀ , x₁ ,..., x_n  ^{bölgü nöqtələri yığınını}
parça-
[a, b]

^{parçasının bölgüsü adlandıraq və qısa şəkildə} x_k  ^{ilə işarə edək.
[a, b] parçasının bu bölgüdən alınan} x_{k 1} , x_k  (k 1, n) ^parça-

larının uzunluqlarını, uyğun olaraq,

x_k  x_k  x_{k 1} , (k 1, n)

ilə,

x_k


^{(k  1, n) -rın ən böyüyünü isə} d ^{ilə işarə edək: d  max xk .}
1k n

d ^-yə x_k  ^{bölgüsünün diametri deyilir.} x_{k 1} , x_k  (k 1, n)

parçalarının hər biri daxilində ixtiyari bir

 _k (k  1, n)

nöqtəsi

^{götürüb, həmin nöqtələrdə} f (x) ^{funksiyasının} qiymətlərini hesablayaq və
n
f (_k )


(k  1, n)

S_n  _ f ( _k )x_k k 1
(1)

şəklində cəm düzəldək. Aydındır ki, bu cəmin qiyməti [a, b] par-

çasının bölgü qaydasından və

_k (k 1, n)

nöqtələrinin seçil-

məsindən asılıdır. (1) cəminə
sında inteqral cəmi deyilir.
f (x)
funksiyasının
[a, b]
parça-

^{T ə r i f 2. Əgər (1) inteqral cəminin} d  0 ^{-da sonlu} S

limiti varsa, onda
f (x) -ə
[a, b]
parçasında inteqrallanan funk-

siya, S ədədinə isə onun həmin parçada müəyyən inteqralı deyilir və
b
_ f (x)dx . (2)
a
kimi işarə edilir. Bu yazılış, “inteqral ^a -dan b -yə ef iks de iks”

kimi oxunur. Burada
f (x) - inteqralaltı funksiya,
f (x)dx -

inteqralaltı ifadə, ^a və b ədədləri, uyğun olaraq, müəyyən inteqralın aşağı və yuxarı sərhədləri, x isə inteqrallama dəyişəni adlanır.
Tərifə görə


b _n

_ f (x)dx  lim _ f (_k )x_k
(3)

a
yazmaq olar.
d 0 _{k 1}

Müəyyən inteqralın tərifi ilk dəfə Riman tərəfindən verildiyinə görə bəzən (1) cəminə Rimanın inteqral cəmi, (2) inteqralına isə Riman inteqralı deyilir.

Teorem (inteqrallamanın kafi şərti).
[a, b]

parçasında

kəsilməz olan
f (x)
funksiyası həmin parçada inteqrallanandır.

Müəyyən inteqralın əsas xassələri

a

1. 
   _ f (x)dx  0
   

a
b a

2. 
   _ f (x)dx  _ f (x)dx .
   

a b

b

3. 
   _ dx  b  a
   

a

( f (x)  1) .

4. 
   Sabit vuruğu inteqral işarəsi qarşısına çıxarmaq olar:
   

b b
_C f (x)dx  C_ f (x)dx ,
a a
⁽ C ^{sabit ədəddir).}

5. 
   [a, b]
   

parçasında inteqrallanan
f₁(x) ^və
f ₂ (x)

funksiyalarının cəmi də həmin parçada inteqrallanandır və
b b b
_ f₁ (x)  f ₂ (x)dx  _ f₁ (x)dx  _ f ₂ (x)dx ,
a a a
yəni cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir.
N ə t i c ə. İki funksiya fərqinin müəyyən inteqralı onların müəyyən inteqralları fərqinə bərabərdir:
b b b
_ f₁ (x)  f ₂ (x)dx  _ f₁ (x)dx  _ f ₂ (x)dx .
a a a
5-ci xassəsi istənilən sonlu sayda funksiyaların cəmi üçün də doğrudur.

6. 
   Əgər
   

f (x)
funksiyası
[a, b]
parçasında

inteqrallanandırsa və a  c  b isə, onda
b c b
_ f (x)dx  _ f (x)dx  _ f (x)dx ,
a a c
yəni bütün parça üzrə inteqral onun hissələri üzrə inteqralların cəminə bərabərdir. Bu xassə müəyyən inteqralın additivlik xassəsi adlanır.

yəni cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir.
N ə t i c ə. İki funksiya fərqinin müəyyən inteqralı onların müəyyən inteqralları fərqinə bərabərdir:
b b b
_ f₁ (x)  f ₂ (x)dx  _ f₁ (x)dx  _ f ₂ (x)dx ^.
a a a
5-ci xassəsi istənilən sonlu sayda funksiyaların cəmi üçün də doğrudur.

6. 
   Əgər
   

f (x)
funksiyası
[a, b]
parçasında

^{inteqrallanandırsa və} a  c  b ^{isə, onda}
b c b
_ f (x)dx  _ f (x)dx  _ f (x)dx ,
a a c
yəni bütün parça üzrə inteqral onun hissələri üzrə inteqralların cəminə bərabərdir. Bu xassə müəyyən inteqralın additivlik xassəsi adlanır.

6. 
   x [a, b] (a  b) ^üçün f (x)  0 ^{olarsa, onda}
   

b
_ f (x)dx  0 .
a

6. 
   Müəyyən inteqralın mütləq qiyməti inteqralaltı funksiyanın mütləq qiymətinin inteqralından böyük deyil:
   

b b

_ f (x)dx  _| f (x) |dx ,
(a  b) ^.

a a

9 ( Müəyyən inteqralın qiymətləndirilməsi). Əgər
f (x)

funksiyasının
[a, b],
(a  b)
parçasında ən kiçik qiyməti m və ən

böyük qiyməti M olarsa, onda
b
m(b  a)  _ f (x)dx  M (b  a) .
a

10. (Orta qiymət teoremi). Əgər
f (x)
funksiyası
[a, b]

parçasında kəsilməzdirsə, onda bu parça daxilində elə  nöqtəsi vardır ki,
b
_ f (x)dx  (b  a) f () .
a

17. 
    Nyuton Leybnis düsturu
    

^{§1-də qeyd etdik ki,} [a, b] ^{parçasında kəsilməz olan}
f (x)
funksi-

^{yası həmin parçada inteqrallanandır. Onda} x [a, b] ^üçün
x
_ f (u)du inteqralı var. Aydındır ki, inteqralın aşağı sərhəddi a
a
sabit ədəd, yuxarı sərhəddi x isə dəyişən kəmiyyət olduqda, o ^{yuxarı sərhəddin funksiyası olur. Həmin funksiyanı} Ф(x) ^{ilə işarə}
edək:

x
Ф(x)  _ f (u)du
a
(1)

Buna yuxarı sərhəddi dəyişən olan müəyyən inteqral

deyilir. (1) inteqralı,
x [a, b]
üçün
f (x)  0
olduqda, həndəsi

olaraq aALx (şəkil 1) əyrixətli trapesiyanın sahəsini təyin edir və x

kəmiyyəti
[a, b]
par-

çasında dəyişəndə hə- min sahə də dəyişir. (1) bərabərliyi ilə təyin olunan Ф(x) funksiyası

ilə inteqralaltı
f (x)
Şəkil 1.

funksiyası arasındakı əlaqə aşağıdakı teorem vasitəsilə müəyyən edilir.