Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

2. Ixtiyoriy Evklid fazosining eng oddiy xossalari. Ushbu kichik bo'limda o'rnatilgan xususiyatlar chekli va cheksiz o'lchamdagi to'liq ixtiyoriy Evklid fazosi uchun amal qiladi.
4.1 teorema.Ixtiyoriy Evklid fazosining har qanday ikkita x va y elementlari uchun tengsizlik

(x, y) 2 ≤ (x, x) (y, y), (4.6)

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
Isbot. Har qanday haqiqiy son l uchun skalyar ko‘paytmaning 4 ° aksiomasi tufayli (l x - y, l x - y)> 0 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.1 ° -3 ° aksiomalar bo‘yicha oxirgi tengsizlikni quyidagicha qayta yozish mumkin.

λ 2 (x, x) - 2 l (x, y) + (y, y) ≤ 0

Oxirgi kvadrat uch a'zoning manfiy bo'lmasligi uchun zarur va etarli shart uning diskriminantining musbat emasligi, ya'ni tengsizlikdir (x, x) = 0 holatda, kvadrat trinomial chiziqli funktsiyaga aylanadi, lekin bu holda x elementi nolga teng, shuning uchun (x, y ) = 0 va tengsizlik (4.7) ham o'rinli)

(x, y) 2 - (x, x) (y, y) ≤ 0. (4.7)

Tengsizlik (4.6) darhol (4.7) dan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan.
Bizning keyingi vazifamiz ixtiyoriy Evklid fazosiga kontseptsiyani kiritishdir normalari(yoki uzunligi) har bir element. Buning uchun biz normalangan chiziqli fazo tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif. Chiziqli fazo R deyiladi normallashtirilgan agar quyidagi ikkita talab bajarilsa.
I. R fazoning har bir x elementi deb ataladigan haqiqiy son bilan bog'langan qoida mavjud norma(yoki uzunligi) belgilangan elementning va || x || belgisi bilan belgilanadi.
P. Bu qoida quyidagi uchta aksiomaga bo'ysunadi:
1 °. || x || > 0, agar x nolga teng bo'lmagan element bo'lsa; || x || = 0, agar x nol element bo'lsa;
2 °. || l x || = |l | || x || har qanday x element va har qanday haqiqiy son l uchun;
3 °. x va y ning har qanday ikkita elementi uchun quyidagi tengsizlik amal qiladi:

|| x + y || ≤ || x || + || y ||, (4.8)

uchburchak tengsizligi (yoki Minkovski tengsizligi) deb ataladi..