Ga misollar. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi

1. Haqiqiy Evklid fazosining ta’rifi. Haqiqiy chiziqli fazo R deyiladi haqiqiy Evklid fazosi(yoki oddiygina Evklid fazosi) agar quyidagi ikkita talab bajarilsa.
I. Bu fazoning istalgan ikkita elementi x va y haqiqiy son bilan bog'langan qoida mavjud nuqta mahsuloti bu elementlar va (x, y) belgisi bilan belgilanadi.
P. Ushbu qoida quyidagi to'rtta aksiomaga bo'ysunadi:
1 °. (x, y) = (y, x) (siljish xossasi yoki simmetriya);
2 °. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (tarqatish xususiyati);
3 °. (l x, y) = l (x, y) har qanday haqiqiy l uchun;
4 °. (x, x)> 0, agar x nolga teng bo'lmagan element bo'lsa; (x, x) = 0, agar x nol element bo'lsa.
Biz shuni ta'kidlaymizki, Evklid fazosi tushunchasini kiritishda biz nafaqat o'rganilayotgan ob'ektlarning tabiatidan, balki elementlarning yig'indisini, elementning songa ko'paytmasini shakllantirish qoidalarining o'ziga xos shaklidan ham mavhumlashtiramiz. , va elementlarning skalyar ko'paytmasi (bu qoidalar chiziqli fazoning sakkizta aksiomasini va to'rtta aksioma nuqta ko'paytmasini qondirishi muhim).
Agar o'rganilayotgan ob'ektlarning tabiati va sanab o'tilgan qoidalarning turi ko'rsatilgan bo'lsa, Evklid fazosi deyiladi. xos.
Keling, aniq Evklid bo'shliqlariga misollar keltiraylik.
Misol 1. Barcha erkin vektorlarning V 3 chiziqli fazosini ko'rib chiqaylik. Har qanday ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi analitik geometriyada bajarilgani kabi aniqlanadi (ya'ni, bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga ko'paytmasi sifatida). Analitik geometriya kursida 1 ° - 4 ° aksiomalarning aniqlangan skalyar mahsuloti uchun haqiqiyligi isbotlangan ("Analitik geometriya", 2-bob, §2, 3-bandga qarang). Demak, V 3 fazosi shunday aniqlangan skalyar ko'paytmali evklid fazosidir.
2-misol. a ≤ t ≤ b segmentida aniqlangan va uzluksiz barcha x (t) funksiyalarning cheksiz o‘lchamli chiziqli fazosini C [a, b] ko‘rib chiqaylik. Ikkita shunday x (t) va y (t) funksiyalarning skalyar ko‘paytmasi bu funksiyalar ko‘paytmasining integrali (a dan b gacha) sifatida aniqlanadi.

1 ° -4 ° aksiomalarning aniqlangan skalyar mahsuloti uchun haqiqiyligini tekshirish elementar hisoblanadi. Darhaqiqat, aksioma 1 ° ning haqiqiyligi aniq; 2 ° va 3 ° aksiomalarning haqiqiyligi aniq integralning chiziqli xususiyatlaridan kelib chiqadi; 4 ° aksiomaning haqiqiyligi shundan kelib chiqadiki, x 2 (t) uzluksiz manfiy bo'lmagan funktsiyaning integrali manfiy emas va bu funktsiya a ≤ t ≤ b segmentida xuddi shunday nolga teng bo'lsagina yo'qoladi (" masalaga qarang"). Matematik tahlil asoslari", I qism, 1-son, 6-bo'lim, 10-bobdan 1 ° va 2 ° xossalari (ya'ni, bu ko'rib chiqilayotgan fazoning nol elementi).

Shunday qilib, C [a, b] fazosi shunday aniqlangan skalyar mahsulotga ega cheksiz o'lchovli Evklid fazosi.
3-misol. Evklid fazosining quyidagi misolida n ta haqiqiy sonning n ta tartiblangan to‘plamidan, har qanday ikkita elementning skalyar ko‘paytmasi x = (x 1, x 2, ..., xn) va n o‘lchamli chiziqli fazo berilgan. y = (y 1, y 2, ..., yn) tenglik bilan aniqlanadi

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Shu tarzda aniqlangan skaler mahsulot uchun 1 ° aksiomaning haqiqiyligi aniq; 2 ° va 3 ° aksiomalarning haqiqiyligi osongina tekshiriladi, elementlarni qo'shish va ularni raqamlarga ko'paytirish operatsiyalarining ta'rifini esga olish kifoya:

(x 1, x 2, ..., x n) + (y 1, y 2, ..., yn) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., xn + yn) ,

l (x 1, x 2, ..., x n) = (l x 1, l x 2, ..., l x n);

nihoyat, aksioma 4 ° ning haqiqiyligi shundan kelib chiqadiki, (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ... + x n 2 har doim manfiy bo'lmagan raqam va faqat x 1 = x 2 = ... = x n = 0 shartida yo'qoladi.

Ushbu misolda ko'rib chiqilgan Evklid fazosi ko'pincha E n belgisi bilan belgilanadi.
4-misol. Xuddi shu chiziqli fazoda A n har qanday ikkita elementning x = (x 1, x 2, ..., xn) va y = (y 1, y 2, ..., yn) skalyar ko‘paytmasini kiritamiz. ) munosabat (4.2) emas, balki boshqacha, umumiy tarzda.
Buning uchun n tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing

(4.3) matritsadan foydalanib, n ta o‘zgaruvchili x 1, x 2, ..., x n bir jinsli ikkinchi tartibli ko‘phad tuzing.

Oldinga qarab, biz bunday ko'phad chaqirilishini ta'kidlaymiz kvadratik shakl((4.3) matritsa orqali hosil qilingan) (kvadrat shakllar ushbu kitobning 7-bobida tizimli ravishda o‘rganilgan).
Kvadrat shakl (4.4) deyiladi ijobiy aniqlangan agar u bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan x 1, x 2, ..., xn o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun qat'iy ijobiy qiymatlarni qabul qilsa (ushbu kitobning 7-bobida ijobiy aniqlik uchun zarur va etarli shart). kvadratik shakl ko'rsatiladi).
X 1 = x 2 = ... = x n = 0 uchun kvadrat shakl (4.4) aniq nolga teng bo'lgani uchun, deyishimiz mumkin. ijobiy aniqlik
kvadratik shakl faqat x bo'lsa yo'qoladi 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Biz (4.3) matritsaning ikkita shartni qondirishini talab qilamiz.
1 °. Ijobiy aniq kvadrat shakl hosil qilindi (4.4).
2 °. Bu nosimmetrik edi (asosiy diagonalga nisbatan), ya'ni. a ik = a ki shartni hamma i = 1, 2, ..., n va k = I, 2, ..., n uchun qanoatlantiradi.
1 ° va 2 ° shartlarni qanoatlantiradigan (4.3) matritsadan foydalanib, biz x = (x 1, x 2, ..., xn) va y = (y 1, y 2, ..) har qanday ikkita elementning skalyar ko'paytmasini aniqlaymiz. ., yn) fazoning A n munosabati bilan

Shu tarzda aniqlangan skalyar mahsulot uchun 1 ° -4 ° barcha aksiomalarning haqiqiyligini tekshirish oson. Darhaqiqat, 2 ° va 3 ° aksiomalar mutlaqo o'zboshimchalik bilan matritsa uchun haqiqiydir (4.3); 1 ° aksiomaning haqiqiyligi matritsa (4.3) uchun simmetriya shartidan kelib chiqadi va 4 ° aksiomaning haqiqiyligi skalar mahsulot (x, x) bo'lgan kvadratik shakl (4.4) musbat ekanligidan kelib chiqadi. aniq.

Shunday qilib, (4.5) matritsa simmetrik va u hosil qilgan kvadratik shakl musbat aniqlangan boʻlsa, skalyar koʻpaytmasi (4.5) tenglik bilan aniqlangan A n fazo Evklid fazosidir.
Agar (4.3) matritsa sifatida bir xillik matritsasini olsak, u holda (4.4) munosabat (4.2) ga aylanadi va 3-misolda ko'rib chiqilgan E n Evklid fazosini olamiz.