Gauss tipidagi kvadratur formulalar va ularning tadbiqi

2.5.Effektiv kvadratur formulalarning qo’llanishi.

Odatda xos qiymat deb ataluvchi noma’lum doimiy parametrni o’z ichiga olgan chiziqli differensial tenglama berilgan bo’lsin. Ya’ni shunday bir jinsli chegaraviy shartlar berilganki, tenglamaning yechimi faqat parametrni tanlash bilan topish mumkin. Masala shundan iboratki, shunday eng kichik qiymatni yoki bir nechta eng kichik qiymatlarni topish mumkin bo’lsaki, masala yechimga ega bo’lsin.
Bunday xos qiymatlar bilan bog’liq masalalarni yechish uchun effektiv kvadratur formulalarning qo’llanilishi yaqqol yordam berishi mumkin, chunki u faqat oraliqning chetki nuqtalarida funksiya va uning hosilalarini bilishga asoslangandir. Bu qiymatlar esa berilgan differensial tenglamalar va chegaraviy shartlar asosida olinadi.
Bu metodni qo’llanishini namoyish qilish uchun biz oddiy bir misol olamiz. Lekin metod esa murakkab shartlar asosida qo’llaniladi. Bizning asosiy maqsadimiz metodning jiddiy qirralarini o’rganishdan iborat bo’ladi. Murakkablashgan texnik qiyinchiliklari bundan mustasnodir. Shuning uchun biz o’zgarmas koeffitsiyentli ikkinchi tartibli differensial tenglamaga to’xtalamiz.
, (2.5.1)
Chegaraviy shartlari quyidagicha
= , (2.5.2)
Berilgan oraliq ga keltirilgan. Bir jinsli chiziqli differensial tenglama o’zgarmas amplitudali ko’paytuvchi qoldirganligidan nuqtadagi hosila uchun ixtiyoriy qiymatni yozish mumkin. Bu shartlar bilan (2.5.1) differensial tenglama nuqtada barcha hosilalarning qiymatlarini aniqlaydi. Biz ularni ketma–ket differensiallash bilan yoki uni quyidagi darajali qatorga yoyib va o’rniga qo’yib olamiz. Barcha o’xshash hadlarni to’playmiz va oldidagi olingan koeffisentlarni nolga tenglashtiramiz. Bizning oddiy misolimizda , , , , , , ni topamiz.
Agar biz koeffisentlarni ketma–ket topishni qancha davom ettirsak, shuncha katta aniqlikni kutishimiz mumkin. Bizning maqsadimiz uchun bu yerda biz ga to’xtalamiz. Boshqa chetki nuqta uchun xuddi shunday

deb olamiz.
Oldingiga o’xshagan differensial tenglamaga etib qo’yish metodidan foydalansak, biz ni emas balki, barcha keyingi koeffisentlar koeffitsiyentning chiziqli funksiyasi bo’lar ekan.
= , ,
, , ,
Endi biz ni boshlang’ich funksiya sifatida qabul qilamiz va kvadratur formulani qo’llaymiz. Xuddi shunday va ikkala chetki nuqtalarda berilgan.


bo’lganda effektiv kvadratur formula
;

ni hosil qilamiz, bu quyidagi munosabatga olib keladi:
, (2.5.3)
Endi biz yana bir marta ni sifatida olib, effektiv kvadratur formuladan foydalanamiz:
,
,
,
Hozir biz ikkala chetkilar uchun uch juft berilganlarga egamiz va formulani bo’lganda qo’llaymiz.


Bu esa yangi munosabatni beradi.
(2.5.4)
(2.5.3) va (2.5.4) larning o’ng tomonlarini tenglashtirib -xos qiymatni aniqlash uchun quyidagi kvadrat tenglamani olamiz:

Biz ikkita
, , (2.5.5)
ildizlarga ega bo’lamiz.
Faqat kichik ildizning o’ziga xos qiymati bor, kattasini olsak , hisoblashlarda katta o’zgarishlar bo’ladi. Kichik ildiz uchun biz differensiallash jarayonini davom ettirsak, unda o’zgarish bo’lmaydi. Biz ga kelib qoldik. Agar biz yana bir qadam qilsak, va ni kiritsak, effektiv kvadratur formulaning birinchi yaqinlashishi da ikkinchisi esa da bo’ladi. Bu uchun biz ikkita munosabatni olamiz.
va
va ular ni aniqlash uchun

kub tenglamani beradi. Bu yerda yechimi
,
dan iborat bo’ladi. qiymatning kichkina o’zgarishi, (2.5.5) da topilganga nisbattan ko’rsatadiki, birinchi qo’pol yaqinlashish haqiqatga juda yaqin ekanki, aniqlik 0,07% gacha bo’ldi. Ko’rgan oddiy misolimizda natijalarimizni tekshirishimiz mumkin. - nazariy jixatdan
, esa
transtendent tenglamani yechimidir. Bu tenglamaning eng kichik ildizi
yoki ni beradi.
Shunday qilib uchun yaqinlashish xatoligi ga, da esa ga teng bo’ldi.
Xuddi shunday silliq funksiyalar uchun uni qo’llasak yaqinlashish juda tez bo’ladi. Ma’lumki xos qiymatlarni olish uchun Rem - Rits metodi ba’zi bir integrallarni minimallashtirishga asoslangandir, shuning uchun ham u metod faqat o’ziga qo’shma differensial operatorlarga qo’llanishi mumkin.
Tavsiya etilgan metod uchun esa differensial operator va chegaraviy shartlar o’z-o’ziga qo’shma bo’lishi talab qilinmaydi. Shuning uchun bu metod ancha umumiy hollarda ham qo’llaniladi va hatto bu metodik qo’llash uchun differensial tenglamaning chiziqli bo’lishi shart emas.
Bu g’oyani yana ham ilgari suradigan bo’lsak shunday xulosaga kelamizki, effektiv kvadratur jarayoni nafaqat xos qiymatlarni topish uchun balkim, differensial tenglamalarning haqiqiy yechimlarini topishga ham qo’llanilishi mumkin. Effektiv kvadratur jarayonning yaqinlashishi umumiy xususiyatlarini ko’rib chiqamiz. Bu uchun biz teng taqsimlangan polinomial interpolyatsiyaning yaqinlashishidan foydalanamiz.
funksiya intervalda va shu intervalni o’ziga oluvchi kompleks tekislikning biror sohasida analitik xarakterga ega bo’lsin deb, faraz qilaylik. U holda ni Koshining quyidagi Kontur integrali bilan tasvirlash mumkin.
, (2.5.6)
bu yerda integral yopiq kontur bo’yicha olinadi, qaysikim , hamda nuqtalarni o’z ichiga oladi, lekin funksiyaning maxsus nuqtalarini o’z ichiga olmaydi. Bu esa bizga butun tekshirishimizni faqat maxsus funksiya bilan chegaralanishga imkon beradi, bu yerda - kompleks tekislikning biror fikserlangan nuqtasidir. Quyidagi teorema o’rinlidir.
Teorema. Agar effektiv kvadratur metod - xususiy funksiya uchun nuqta kompleks tekislikning biror to’liq aniqlangan sohasidan tashqarida yotish sharti bilan yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda bu sohaning ichida va chegarasida regulyar bo’ladigan ixtiyoriy analitik funksiya yaqinlashish ta’minlanadi.
Isbot: Ma’lumki effektiv kvadratur formulalar xatoligi uchun quyidagi baholash formulasi o’rinlidir:
, (2.5.7)
Bundan
,
xususiy funksiya uchun ,
,
ni olamiz va xuddi shunday
, (2.5.8)
tenglikka ega bo’lamiz. Endi (2.5.8) tenglikka biz ko’rsatishimiz kerakki, ning cheksizlikka intilishi bilan nolga intiladi.
E’tiborlisi shuki, hal qiluvchi qiymat
,
integral ostidagi funksiyaning - chi darajasidan iborat. Agar hamma joyda birdan kichik bo’lsa, u holda ning nolga asta – sekin yaqinlashishi ta’minlanadi. Shunday bo’lishi mumkinki , nuqta o‘qiga [0,1] oraliqdan shunday uzoqlashtirilganki, oraliqning hammasida birdan kichik bo’ladi, bu holda esa, yaqinlashish ta’minlangan bo’lib keyingi tekshirishlar talab qilinmaydi.
Lekin shunday hol bo’lishi mumkinki, nuqta o’qiga juda yaqin bo’lib qoladi va - oraliqning ba’zi bir qismlari uchun birdan katta bo’lib qoladi. nuqta quyidagi ko’rinishga ega bo’lsin.
,
bu yerda musbat, ya’ni o’qidan pastga joylashgan ba’zi bir kompleks nuqtadir. bo’ladigan nuqtadan boshlab, o’qi bo’yicha nuqtagacha ni shunday almashtiramizki, u birga teng bo’lsin.
Shunday o’xshash nuqtadan (bu yerda ), nuqtagacha orqaga qaytamizki, yana bo’lsin. Qiyinchilik orasida bo’ladiki, oraliqning qismida va kesmalar nolga intiladi. Endi biz ma’lum bo’lgan analitik funksiyalar xossalariga asosan xulosa chiqaramizki, integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtalarini olganda, integrallash yo’lini ixtiyoriy deformatsiyalash mumkin [4]. Shuning uchun biz ni kompleks o’zgaruvchi bilan almashtiramiz va integral ostidagi funksiya maxsus nuqtalarga ega bo’lmaydigan kompleks tekislikning yuqori yarim qismida integrallash yo’lini tanlaymiz. Avval bo’ladigan nuqtalarning geometrik o’rnini aniqlaymiz.
Bu esa
, (2.5.9)
shartga olib keladi.
Buni biz ga nisbatan uchinchi darajali hadi va ozod hadi ga teng bo’lgan kubik tenglama sifatida qarashimiz mumkin. va kritik oraliqda bu qiymat manfiy bo’lib qoladi. Lekin, bunda kubik tenglama har qanday ning qiymatlari uchun haqiqiy musbat ildizga ega bo’lishi kerak. Shunday qilib biz yuqori yarim tekislikda va nuqtalarni birlashtiruvchi botiq egrilikni aniqlovchi soha ichida , tashqarisida esa ga ega bo’lamiz.
Kritik egrilik tashqarisida integrallash yo’lini shunday taminlaymizki, bo’ladi . Bu bilan ning nolga intilishini isbotladik. Agar biz deb olsak, u holda o’qida yotadi va integral ostidagi funksiya haqiqiy bo’ladi.

kasrni qaraymiz. Uning maksimumi

nuqtada yotadi. Qaysikim

Bu kasrning birdan kichik bo’lish sharti ga ikkita chegarani beradiki aynan musbat tomondan: ,
va manfiy tomondan: ,
tekshirishimizning natijasini quyidagicha tasvirlash mumkin: o’qida kesmani simmetrik har ikkala tomonga ham qiymatga chetki nuqtalardan boshlab cho’zamiz. Bu kesmani ixtiyoriy kichik tenglik bilan o’raymiz. Teoremani sharti bo’yicha bu sohada regulyar u holda effektiv kvadratur yaqinlashishi ta’minlanadi. Teorema isbotlandi.
BMIning 2- bobida integrallarni taqribiy hisoblash uchun yuqori tartibli Gauss tipidagi kvadratur formulalar keltirilgan. Buyuk matematik Gauss kvadratura nazariyasiga butunlay yangi va juda muhim g’oyani kiritdiki, u amaliy analizning tub sohalari rivojlanishi uchun asos bo’lib qoldi. Yuqori tartibli Gauss tipidagi kvadratur formulalar uchun ham Mathcad tizimida algoritm va dastur tuzildi va bu dasturdan aniq misollarni hisoblashda qo’llab yuqori natijalar olindi. Bundan tashqari effektiv formulalar qurish masalasi ham ko’rib chiqilgan. Shuning uchun bizning asosiy maqsadimiz shundan iboratki, effektiv kvadratur formulalarni hosil qilish uchun biz ichki ordinatalardan emas, balkim chegaraviy ordinatalardan va bu nuqtalarda hosilalarning qiymatlaridan foydalanamiz. Bunday formulalar aniqlikni oshirish uchun emas, balki integrallarni hisoblash uchun chegaraviy axborotlardan foydalaniladi.

XOTIMA

Mazkur BMI da aniq integrallarni taqribiy hisoblashning bir nechta metodlari va ularning qo’llanilishiga oid ma’lumotlar keltirilgan. Analitik usullar yordamida integrallarni hisoblab natija chiqarishning har doim ham imkoni yo’qligi sababli aniq integrallarni taqribiy hisoblash metodlari yaratilgan. Bu metodlar yordamida integrallarni hisoblashda olingan yechimlar aniq qiymatga judayam yaqin bo’ladi.
BMI ning 1-bobida integralning geometrik ma’nosi va uning qiymatini taqribiy hisoblash uchun yaratilgan eng sodda interpolyatsion metodlar, to’g’ri to’rtburchak, trapetsiya,Simpson kvadratur formulalari, Nyuton – Kotes kvadratur formulasi, umumlashgan kvadratur formulalar, Meler kvadratur formulasi haqida ma’lumotlar keltirilgan. Bu metodlar tahlil qilinib qanday ko’rinishdagi misollarda qaysi birini qo’llash yuqori samara berishi aytib o’tilgan. Barcha metodlarni yaqinlashishi va xatoliklari tahlil qilingan. Keltirilgan metodlar uchun Mathcad tizimida algoritm va dasturlar yaratilgan aniq misollarda qo’llanilib bu metodlarni aniqliligi tahlil qilingan.
BMI 2- bobida integrallarni taqribiy hisoblash uchun yuqori tartibli Gauss tipidagi kvadratur formulalar keltirilgan. Bunda Gauss koeffitsiyentlarni aniqlash uchun Lejandr ko’phadidan foydalanilgani aytib o’tilgan. Yuqori tartibli Gauss tipidagi kvadratur formulalar uchun ham Mathcad tizimida algoritm va dastur tuzildi va bu dasturdan aniq misollarni hisoblashda qo’llab yuqori natijalar olindi. Bundan tashqari effektiv formulalari hosil qilish uchun chegaraviy ordinatalardan foydalanish kerakligi aytib o’tilgan.