Geometriya fanidan

Differentsial geometriya a matematik usullaridan foydalanadigan intizom differentsial hisob, integral hisob, chiziqli algebra va ko'p chiziqli algebra muammolarni o'rganish geometriya. The tekislik va fazoviy egri chiziqlar nazariyasi va yuzalar uch o'lchovli Evklid fazosi 18-asr va 19-asr davomida differentsial geometriyaning rivojlanishiga asos bo'lgan.
19-asrning oxiridan boshlab, differentsial geometriya asosan geometrik tuzilmalar bilan bog'liq bo'lgan sohaga aylandi farqlanadigan manifoldlar. Differentsial geometriya bilan chambarchas bog'liq differentsial topologiya va nazariyasining geometrik jihatlari differentsial tenglamalar. Bu sirtlarning differentsial geometriyasi ushbu sohada mavjud bo'lgan ko'plab asosiy g'oyalar va texnikani aks ettiradi.
Differensial geometriya va egri chiziqlar matematik tahlil qilish natijasida va ular bilan bog'liq holda paydo bo'ldi va rivojlandi.^[1] Egri chiziqlar va sirtlarning matematik tahlili ba'zi bir jirkanch va javobsiz savollarga javob berish uchun ishlab chiqilgan edi. hisob-kitob, murakkab shakllar va egri chiziqlar, ketma-ketlik va analitik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarning sabablari kabi. Ushbu javobsiz savollar katta, yashirin munosabatlarni ko'rsatdi.
Mahalliy egrilikdan egri chiziqlarni olish uchun tabiiy tenglamalarning umumiy g'oyasi birinchi marta ko'rib chiqilgan ko'rinadi Leonhard Eyler 1736 yilda va juda oddiy xatti-harakatlar bilan ko'plab misollar 1800 yillarda o'rganilgan.^[2]
Egri chiziqlar, egri chiziqlar bilan o'ralgan yuzalar va egri chiziqlar miqdoriy jihatdan va umuman matematik shakllar bilan bog'liq bo'lganligi aniqlanganda egri chiziqlar va sirtlarning tabiatini rasmiy o'rganish o'z-o'zidan o'rganish maydoniga aylandi. Monj1795 yildagi qog'oz va ayniqsa, bilan Gauss"Disquisitiones Generales Circa Superbies Curvas" nomli maqolasining nashr etilishi Sharhlar Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores 1827 yilda.^[3]
Dastlab Evklid kosmosiga tatbiq etilgan, keyingi tadqiqotlar evklid bo'lmagan kosmosga va metrik va topologik bo'shliqlarga olib keldi. Topologiya (lot. topos — joy, oʻrin va ...logiya) — mat.ning istalgan tabiatli obʼyektlar shakli bilan bogʻliq eng umumiy xossalarni oʻrganuvchi sohasi hamda shu sohaning eng muhim tushunchalaridan biri.
Geometriyaning bir necha ming yillik tarixiy rivojlanishi davomida koʻplab tayin chiziklar va sirtlar xossalari oʻrganib kelingan boʻlsa, 19-asrning soʻnggi choragida, bir tomondan, B. Riman, S. Li kabi matematiklar chiziq va sirt tushunchalarini umumlashtirish natijasida ancha keng geometrik obraz — qurama (koʻpxillik ham deyiladi) tushunchasini kiritdilar; ikkinchi tomondan, funksiyalarning turli sinflarini oʻrganish natijasida fransuz matematiklari A. Lebeg (1875— 1941), E. Borel (18711956) va boshqa ishlarida analisis situs (oʻrinjoy tahlili) deb nomlangan yoʻnalish shakllana boshladi. Xuddi shu davrda italiyalik matematik E. Betti (1823—98) koʻpyokdilar haqidagi Eyler teoremasini umumlashtirib, koʻp oʻlchovli koʻpyoqsimon (hozirgi atamaga koʻra, chiziqli boʻlakli) quramalarning murakkablik darajasini belgilovchi koʻrsatkich — Betti sonlarini kiritdi. Bir oz keyin J. A. Puankare yana ham umumiyroq gomologik va fundamental gruppa tushunchalarini qoʻllash natijasida T. mat.ning keyingi taraqqiyotida muhim rol oʻynashini bashorat qildi. 20-asr boshlarida nemis matematigi F. Xausdorf (1868—1942) topologik fazo tushunchasiga taʼrif berdi. Shundan soʻng T.ning jadal surʼatlar bilan rivojlanish davri boshlandi. 20-asrning oʻrtalariga kelib T. algebra bilan bir qatorda butun mat.ning poydevorini tashkil qilishi, mat. sohalari u yoki bu darajadagi nisbatda olingan algebra bilan T. tushuncha va gʻoyalarining sintezidan iborat boʻlishi eʼtirof etildi.
Agar istalgan tabiatli X toʻplam oʻz holicha qaralsa, uning elementlari orasida hech bir munosabat boʻlmaydi. Agar X toʻplam metrik fazo boʻlsa, u gʻolda nuqtalar orasida masofani oʻlchash va shu bilan bogʻliq tushunchalarni oʻrganish imkoniyati tugʻiladi. Bunga nisbatan gʻoyat keng tushuncha — nuqtaning qismtoʻplamga yaqinligi yoki nuqtaning atrofi tushunchasidir. Mas., matematik analizning asosiy goyasi — funksiyalarning lokal (yaʼni nuqtaning atrofidagi tabiati bilangina belgilanadigan) xossalari va ulardan kelib chiqadigan natijalarni oʻrganishdan iborat. Bunda a nuqtaning (a—e,yaQe) koʻrinishdagi intervallar majmuasi asosiy rol oʻynaydi. Agar X toʻplamning har bir nuqtasi uchun quyidagi aksiomalarni kanoatlantiradigan atroflari majmuasi koʻrsatilgan boʻlsa, X topologik fazo boʻladi; 1) har bir nukta oʻzining ixtiyoriy atrofiga tegishli; 2) agar U nuktaning atrofi hamda UcW boʻlsa, u holda W ham shu nuqganing atrofi. Shunday qilib, topologik fazo — biror yoʻsinda T. bilan taʼminlangan toʻplamdir. Bunda ana shu majmualar tizimi X fazoning T.si deyiladi. Mas., X toʻplam [a, ] kesmada aniklangan uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan boʻlsa, f(x) funksiyaning atrofi qanday funksiyalardan tuzilishiga qarab xossalari bir-biridan farq qiladigan topologik fazolar hosil boʻladi.
Odatda, bir toʻplam bir necha usulda topologik fazoga aylantirilishi mumkin. Bunda ularning topologiyalari nuqtalar atroflari majmualari boyligiga qarab oʻzaro taqqoslanadi — bir T. ikkinchisiga nisbatan kuchliroq (boyroq), ikkinchisi esa kuchsizroqdeb ataladi. Mas., barcha x nuqta uchun bittagina atrof X ning oʻzidan iborat boʻlsa, eng kucheiz T., aksincha x ni oʻz ichiga oladigan istalgan toʻplam uning atrofi deb eʼlon qilinsa, eng kuchli (diskret) T. hosil boʻladi. Shuningdek, T. atroflar oʻrniga ochiq toʻplamlar, yopiq toʻplamlar, chegara, yopilma, toʻplamning ochiq yadrosi, atroflar bazasi kabi xilmaxil usulda aniqlanishi mumkin — ularning bari oʻzaro tengkuchlidir. Istalgan toʻplamda turli usulda xilmaxil T. kiritish mumkinligi T. mat.ning universal sohasi ekanligidan dalolat beradi.
T.ning eng muhim tushunchalaridan biri — bir topologik fazoning ikkinchi topologik fazoga uzluksizdir. Bunda Gʻning x0 nuqtadagi uzluksizligi shunday taʼriflanadi: J[x0) ning ixtiyoriy V atrofi uchun xd nuqta f(U)cV shartni qanoatlantiruvchi U atrofga ega. T. tatbiqlarida bunga nisbatan teskari yondashuv ham koʻp qoʻllanadi: agar f:X>Y akslantirish berilgan boʻlib, X (yoki Y) topologik fazo boʻlsa, u holda Yda (moye ravishdan X da) Gʻakslantirish uzluksiz boʻladigan eng kuchsiz (moye ravishda eng kuchli) T. kiritish mumkin. Bu usulni umumlashtirish yoʻli bilan topologik fazolar va uzluksiz akslantirishlar ustida qismfazo, Dekart koʻpaytmasi, topologik fazolarni yelimlash kabi muhim amallar anikdanadi.
Shunday qilib T. — topologik fazolar, ularning uzluksiz akslanmalari hamda ular bilan boshqa matematik obʼyektlar orasidagi munosabatlarni oʻrganuvchi fandir. Agar A’va K topologik fazolar oʻrtasida oʻzi ham, teskarisi ham uzluksiz boʻlgan oʻzaro bir qiymatli akslantirish oʻrnatish mumkin boʻlsa, X va Y gomeomorf fazolar deyiladi. Bunday fazolar T. nuqtai nazaridan bir-biridan farq qilmaydi — biriga oid xossalar ikkinchisida ham oʻrinli boʻladi. Shuning uchun mana shunday, yaʼni gomeomorf akslantirishda oʻzgarmaydigan xossalar topologik invariantlar deyiladi. Topologik fazoning kompaktligi, oʻlchami, tutash (bogʻlamli) komponentalar soni, bir nuqtaga yigʻishtirilishi, sirtlarning bir yoki ikki tomonliligi, uch oʻlchovli fazodagi chizikdarning tugilgan yoki tugilmaganligi topologik invariant namunalaridir. T.da invariantlar vositasida murakkab muammolar hal etiladi.
Topologik fazolar, ularning akslantirishlari va invariantlarining xilmaxilligi tufayli 20-asrning 2 yarmidan T. tarmoqlanib rivojlana boshlagan. Umumiy (nazariy abstrakt) T.da topologik fazolar qoʻshimcha aksiomalar bilan oʻrganiladi. Kombinatorik (chizikliboʻlakli) T. triangulyatsiyalanadigan fazolarni tekshiradi. Algebraik T.da topologik masalalarni algebra masalasiga keltirishga asoslangan usullar rivojlantiriladi. Differensial T.da differensial geometriya va T. chegarasidagi masalalar, maxsusliklar nazariyasida silliq akslantirishlarning xususiyatlari, Knazariyada T.ning differensial operatorlarga tatbiqi oʻrganiladi. T., shuningdek, nazariy va kvant mexanikasi, nisbiylik nazariyasi kabi sohalarda muhim tatbiklarga ega.