Giriş Ədədi diferensiallamanın xətası Diferensiallama qadaları Teorem

Giriş



Ədədi diferensiallamanın xətası









Diferensiallama qadaları

Teorem. Əgər və funksiyaları verilmiş x nöqtəsində diferensiallanandırlarsa, onda onların cəmi, fərqi, hasili və qisməti ( olduqda) də bu nöqtədə diferensiallanandır və aşağıdakı düsturlar doğrudurlar:
, (1)
, (2)
. (3)
İsbatı. (3)-ün doğruluğunu isbat edək. Aşağıdakı işarəni qəbul edək:
. (4)
Onda (4)-ə əsasən

Buradan alırıq:

Oxşar qayda ilə (1) və (2) düsturlarının doğruluqları isbat olunur.
Teorem isbat olundu.

DIFERENSIAL HESABININ ƏSAS TEOREMLƏRI (FERMA, ROLL, LAQRANJ, KOŞI TEOREMLƏRI).

Diferensial hesabının əsas teoremləri: Ferma, Roll, Laqranj və Koşi teoremləri.

Roll teoremi
Teorem (Roll). Əgər funksiyası parçasında kəsilməyən, bu parçanın bütün daxili nöqtələrində diferensiallanandırsa və şərtini ödəyirsə, onda parçasının daxilində elə bir nöqtəsi vardır ki, olur.
Başqa sözlə, kəsilməyən və diferensiallanan funksiyasının iki bərabər qiymətlərinin arasında hökmən bu funksiyanın törəməsinin sıfrı vardır.
İsbatı. Şərtə görə funksiyası parçasında kəsilməyən olduğu üçün Veyerştrasın ikinci teoreminə görə bu parçada özünün ən kiçik və ən böyük qiymətlərini alır. Burada iki hal mümkündür: 1) ; 2) .
1) halda funksiyası parçasında sabitdir: . Ona görə parçasından olan istənilən x nöqtəsi üçün .
2) hal. . Bu halda olduğu üçün funksiyası dəqiq aşağı və ya dəqiq yuxarı sərhədlərindən heç olmazsa birini parçasının daxili nöqtəsində alır. Doğrudan da, , olduğu üçün olduqda ola bilməz, olduqda ola bilməz.
Fərz edək ki, funksiyası özünün dəqiq aşağı sərhəddi olan qiymətini parçasının daxili nöqtəsi olan nöqtəsində alır: .
Onda dəqiq aşağı sərhəd olduğu üçün kifayət qədər kiçik üçün
. (1)
(1)-dən alırıq:
olduqda , (2)
olduqda . (3)
Nöqtədə sol və sağ törəmələrin təriflərinə əsasən (2) və (3)-dən alırıq:
, (4)
. (5)
Şərtə görə funksiyası parçasının daxili nöqtələrində diferensiallanandır. nöqtəsi parçasının daxili nöqtəsi olduğu üçün -in nöqtəsində törəməsi var. Ona görə -in nöqtəsindəki sol və sağ törəmələri bərabər olmalıdırlar. (4) və (5)-dən alırıq ki, və yalnız hər ikisi sıfra bərabər olduqda bərabər ola bilərlər: = =0. Buradan isə alırıq ki, .
Teorem isbat olundu.