Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar. Kut I t va ko’paytirish qonunlari

4-ta`rif. Cheksiz davriy o`nli kasrlar ratsional sonlar to`plamiga kiradi.
5-ta`rif. Davriy bo`lmagan cheksiz o`nli kasrlar irratsional sonlar to`plamini tashkil etadi.
Ratsional va irratsional sonlar (ya`ni cheksiz davriy va davriy bo`l-magan o`nli kasrlar) haqiqiy sonlar deyiladi va R bilan belgilanadi. Ta`rifdan kelib chiqadi, bundan esa hosil bo`ladi. Haqiqiy sonlarni sonlar o`qida tasvirlaydigan bo`lsak, har bir haqiqiy songa o`qda bitta nuqta mos keladi va aksincha, sonlar o`qidagi har bir nuqtaga faqat bitta haqiqiy son mos keladi. Demak, haqiqiy sonlar bilan sonlar o`qidagi nuqtalar orasida o`zaro bir qiymatli mos kelish mavjud bo`lib, “Haqiqiy son” o`rniga “nuqta” ni ishlatish imkonini beradi.

Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar

Butun sonlar ustida arifmetik amallar bizga ma`lum. Ratsional kasrlar ustida bu amallar quyidagicha bajariladi:

1) qo`shish: .
Umumiy maxraj topishda agar (b, d)=1 bo`lsa, umumiy maxraj ularning ko`paytmasi bd bo`ladi, agar (a, b)>1 bo`lsa, umumiy maxraj a ga ham b ga ham bo`linadigan sonlardan eng kichigi bo`ladi.
2) ayirish:
ad-bc ning ishorasi A-B ning ishorasiga qarama-qarshi bo`lsa, A-B dan bitta butun olib quyidagicha yozamiz va amalni bajaramiz:

Misol:
3) ko`paytirish: Amalni bajarishdan oldin aralash sonlar noto`g`ri kasrlarga keltiriladi:

Qisqartirish mumkin bo`lsa, qisqartiramiz va suratni suratga, max-rajni maxrajga ko`paytiramiz. Noto`g`ri kasr hosil bo`lsa, butun ajratamiz:

.

4) Bo`lish. Aralash sonlarni noto`g`ri kasrlarga aylantiramiz, so`ng bo`lishni birinchi (bo`linuvchini) kasrni ikkinchi (bo`luvchi) kasrning teskarisiga ko`paytirish bilan almashtiramiz:

Misol: .
Irratsional ifodalar ustida amallarni ko`rib chiqamiz.
yoki

qo`shishni bajarishdan oldin kasrlarning maxrajini irratsionallikdan ozod qilamiz:
.
Umuman olganda, irratsional ifodalar ustida amallar arifmetik amal-lar qonunlariga va ildizlar ustida amallar qoidalariga muvofiq bajariladi.
Darajadan ildiz chiqarishda daraja ko`rsatkichi ildiz ko`rsatkichiga bo`linadi, bo`linma va qoldiq mos ravishda ildizdan chiqqan va ildiz osti-da qolgan asosning daraja ko`rsatkichi bo`ladi:
, chunki (5=3 1+2)