H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

Çalışmalar - 11.3 

  

3.1. Ъядвял  11.3-дя  верилмиш  тапшырыг  вариантларына  уйьун  експериментал 

верилянляр ясасында MatLAB мцщитиндя 

m

m

1

m

1

m

2

2

1

0

m

x

a

x

a

x

a

x

a

a

)

x

(

P



















,              

4

,

3

,

2

,

1

m



 

апроксимасийа  чохщядлилярини  тапмалы  вя  апроксимасыйанын  характерини  якс 

етдирян графикляри гурмалы.  

 

Ъядвял 11.3 

 №1 

№2 

№3 

№4 

№5 

№6 

х 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

0 

1 

5 

99,1 

0 

0,5 

1 

41,1 

0  -3  3,7 

14 

1 

1  10 

50,6 

2 

50,0 

3 

78,2 

3 

0  5,1 

16 

2 

1  15 

23,5 

4  118,5 

5  129,6 

4 

2 

6 

12 

3 

2  20 

20,1 

6  163,9 

7  184,0 

5  10  7,2 

12 

4 

2  25 

45,7 

8  195,0 

9  220,0 

7 

9 

8 

10 

5 

3  30 

51,1  10  235,0  11  260,0 

8  14  8,3 

9 

6 

4  35 

76,0  12  267,3  13  274,0  11  21  8,9 

7 

7 

5  40  110,1  14  284,0  15  283,2  14  25  9,4  8,9 

8 

7  45  156,1  16  297,0  17  307,5  17  31  9,6  5,1 

 

356 

 

9 

9  50  176,2  18  311,0  19  315,3 

 

 

 

 

10  20 

 

  20  320,5  21  320,7   

 

 

 

11  22 

 

 

 

  23  330,6   

 

 

 

12  30 

 

 

 

  25  335,3   

 

 

 

 

Cədvəl 11.3-ün davamı 

№7 

№8 

№9 

№10 

№11 

№12 

х 

y 

х 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

1,3  120  100  315  0,5  14,5 

0  -3  1  12,5 

0 

1 

1,5  115  111  299  0,7  10,1 

3 

0  2 

10  -1 

0,5 

2  100  120  250 

1 

9,6 

4 

2  3  13,6  -2 

0,3 

3,4 

99  124  266  1,1 

5,5 

5  10  4  17,4  -3  -0,2 

6,1 

81  128  270  1,5 

3,6 

7 

9  5  21,5  -4 

0,1 

7 

72  131  111  1,8 

0,5 

8  14  6  20,5  -5 

0,6 

9,3 

64  156 

91  1,9  -0,3  11  21  7  29,3  -6 

0,3 

10,2 

55  163  100  2,2  -7,6  14  25  8  27,6  -7  -0,2 

11 

48  170 

78  2,3  -8,0  17  31   

 

-8 

0 

 

Cədvəl 11.3-ün davamı 

№13 

№14 

№15 

№16 

№17 

№18 

х 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

0,5 

9,0  2,5  21,0  0,3 

9,0  1  12,5  0,5  14,5  -1  -15,0 

1,2 

32,8  3,0  47,6  1,2  31,8  2 

10  0,7  10,1  0,0 

0,2 

1,9 

65,7  3,5  50,0  1,8  64,4  3  13,6 

1 

9,6  1,5  52,8 

2,6 

79,5  4,0  59,3  2,6  79,5  4  17,4  1,1 

5,5  2,6  91,5 

3,3 

90,4  4,5  62,0  3,3  85,1  5  21,5  1,5 

3,6  3,5  102,7 

4,7  115,0  5,0  69,2  3,5  116,0  6  20,5  1,8 

0,5  4,0  115,4 

4,7  135,7  5,5  73,4  4,7  135,7  7  29,3  1,9  -0,3  4,7  132,5 

5,4  140,9  6,0  75,0  5,4  140,9  8  27,6  2,2  -7,6  5,5  150,9 

6,1  164,0  6,5  80,5  6,1  164,0  9  31,2  2,3  -8,0  6,1  164,0 

6,8  180,4  7,0  98,0  6,8  180,4 

 

 

 

  7,0  170,4 

7,5  220,0 

 

  7,2  215,0   

   

 

8,1  215,1 

 

 

 

 

 

357 

 

Cədvəl 11.3-ün davamı 

 

№19 

№20 

№21 

№22 

№23 

№24 

х 

y 

х 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

0 

10,0  1,0  15,3  2 

1 

5  99,1  1,5  15,0  -10  12 

0,5 

30,0  1,5  24,0  4  1,5  10  50,6  2,2  36,8  -9  23 

2,0 

61,0  2,0  38,0  6  1,2  15  23,5  2,7  40,0  -8  33 

2,6  101,7  2,5  41,0  8  3,0  20  20,1  3,2  50,1  -7  41 

3,0  116,2  3,0  50,0  10  4,1  25  45,7  3,7  54,0  -6  47 

3,5  140,0  3,5  53,7  12  7,2  30  51,1  4,2  61,4  -5  56 

4,2  157,8  4,0  62,0  14  5,5  35  76,0  4,7  68,0 

4  59 

5,3  193,6  4,5  64,5  16  3,4  40 

110  5,2  70,9 

 

 

5,7  210,0  5,0  70,0 

 

 

 

  5,7  98,0 

 

 

6,5  215,0  5,5  83,3 

 

 

 

  6,2  125,0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

358 

 

 

 

 

FƏSIL 12 

 

PARAMETRİK OPTİMALLAŞDIRMA MƏSƏLƏLƏRİ  

_________________________________________________________ 

 

12.1. 

Matlab mühütündə optimallaşdırma     

məsələlələrinin həlli 

              

 

Matlabın tərkibinə xətti və qeyri-xətti optimallaşdərma məsələlələrini həll 

etmək üçün nəzərdə tutulmuş ToolBox Optimization daxildir. Оптималлашдырма 

дедикдя  бцтцн  мцмкцн  вариантлардан  ян  йахшысынын  сечилмяси  просеси  баша 

дцшцлцр.  Оптималлашдырма  мясялясинин  щялли  просесиндя  бязи  параметрлярин 

оптимал  гиймятлярини  тапмаг  лазымдыр,  онлары  оптималлашдырма  параметрляри 

адландырырлар.  Оптимал  щялл,  мягсяд  функсийасы  (optimallaşdırma  kriterisi    və 

ya  meyyarı)адланан  f(x)  функсийанын  ekstremal  (min  və  ya  maksimum) 

qiymətinin ödənilməsi  şərtindən  tapılır.      

Parametrik  optimallaşdırma  məsələsinin  riyazi  yazılışi  aşağıdakı  şəkildə 

verilir:    

)

4

.

9

(

.

)

3

.

9

(

,

0

)

(

)

2

.

9

(

,

0

)

(

)

1

.

9

(

))

(

min

(

,

min

)

(

min

min

}

{

x

x

x

x

g

x

g

x

f

x

f

j

i

G

x

x













 

 

                            

     Burada 

T

n

x

x

x

x

)

,

,

,

(

2

1





 



  axtarılan  оптималлашдырма  параметрляри 

(dəyişənləri)  vektoru;  g

i

(x),  g

j

(x)-bərabərsizlik  və  bərabərlik  şəklində  olan 

funksional  məhdudiyyətlər;  (9.4)-  mövqe  məhdudiyyətləridir  (Əlavə 

1). 

     (9.2)-(9.4)  məhdudiyyıtlər  sistemini  ödəyən  x  birqiymətli  olmayıb,  sonsuz 

qiymətlər çoxluğuna malikdir.  

      Həlli  birqiymətli  etmək  üçün  əlavə  şərt  lazımdır.Bu  məqsədlə  ekstremal 

tipli (9.1) şərtini əlavə etsək eyni zamanda ən yaxşı (yəni optimal) həlli tapmış 

olarıq. 

      Məqsəd funksiyasının maksimal qiymətini (məsələn, məhsuldarlıq) ödəmək 

tələb  olumarsa  min{f(x)}=max{-f(x)}    olduğundan  yalnız  minimallaşdırma 

məsələlərinə  baxacağıq.  Bu  zaman  (9.1)-(9.4)  məsələsində  f(x)=-f(x)  qəbul 

 

359 

 

etmək  kifayyətdir. 

 

 

     

 

 

12.2. Optimallaşdırma məsələlərinin təsnifatı 

 

Oптималлашдырма мясяляlərini iki böyük qrupa ayırmaq olar: 

1.  Şяртсиз оптималлашдырма мясяляləri. 

2.  Şərti оптималлашдырма мясяляləri. 

     Birinci  halda  funksional  məhdudiyyət  (9.2)-(9.3)  nəzərdən  atılır.x 

parametrlərinin  dəyişmə  intervalını  (axtarış  oblastı),  yəni  (9.4)  intervalını 

bilmək  kifayyətdir.  Şərti  optimallaşdırma  məsələsi  isə  (9.2)-(9.4)  funksional 

məhdudiyyətlərin olması ilə xarakterizə olunur. 

     Axtarılan  x  vektorunun  tipinə  görə  optimallaşdırma  mısələləri  aşağidakı 

tiplərə bölünür (əlavə 1): 

      1.Fasiləsiz optimallaşdərma məsələsi- x verilmiş intervalda kontiniumdur 

(yəni istınilən fasiləsiz qiymət ala bilər), 

.

n

R

G

x





 

      2.Tam qiymətli məsələ-x yalnız tam qiymətlər ala bilər, 

.

n

Z

G

x





 

      3.Bul  məsələsi-  x  yalnız  1  vı  ya  0  qiymətlərini  ala  bilər.  Yəni  bul 

dəyişənidir, 

.

n

B

G

x





 

      4.Qarışıq mısələlər. 

      Məqsəd  funksiyasinin  və  məhdudiyyətlərin  tipindən  asılı  olaraq 

optimallaşdırma məsələləri aşağıdakı qruplara ayrilır: 

      1.Şərtsiz  birölçülü  və  çoxölçülü  minimallaşdırma.      Məqsəd  funksiyası 

xətti və ya qeyri- xətti ola bilər.Funksional məhdudiyyətlər iştirak etmir. 

 2. Xətti proqlamlaşdırma. Məqsəd funksiyası və məhdudiyyətlər xəttidir:  

.

,

,

,

)

(

max

min

x

x

x

b

x

A

b

Ax

x

a

x

f

eq

eq

T











 

3.  Kvadratik  proqramlaşdırma.  Məqsəd  funksiyası  kvadratik  forma  ilə 

xətti  funksiyanın  cəmi,  məhdudiyyətlər  əvvəlki  məsələdə  olduğu  kimi 

xəttidir:  

.

,

,

,

2

1

)

(

max

min

x

x

x

b

x

A

b

Ax

x

a

Hx

x

x

f

eq

eq

T

T













 

1.  Qeyri-xətti  proqramlaşdərma.  Bu  halda  məqsəd  funkciyası  f(x) 

qeyri- 

xətti 

olur.Xətti 

məhdudiyyətlərə 

isə 

qeyri-xətti 

0

)

(

,

0

)

(





x

c

x

c

eq

 qeyri xətti məhdudiyyətlər əlavə edilir. 

2.  Adı 

çəkilən  optimallaşdırma  mısələlərindən  başqa  Toolbox 

Optimization  

 

360 

 

-  məqsədəçatma (mahiyyətçə bu məsələ optimallaşdırma məsələsi deyil, 

lakin optimallaşdırma məsələsinə gətirilir); 

-  minimax; 

- 

çoxkriteriyalı optimallaşdərma məsələlərini də həll etməyə imkan verir 

(əlavə 2). 

 

     Hazırda  otimallaşdırma  məsələlərinin  geniş  həll  üsulları  mövcuddur.  Bu 

wsulları iki böyük qrupa ayırmaq oiara: 

     

a) analitik üsullar; 

     

b) axtarış (iterasiyalı) üsulları. 

     Bu  üsulları  f(x)  məqsəd  funksiyasının  törəmasindən  istifadə  olunub- 

olunmamasına ğorə təsnifat etmək olar. f(x)/dx törəməsindən istifadə etməyən 

üsullar sıfır tərtibli , edənlər isə -bir və s. tərtibli  üsullar adlanır. 

      Sıfır tərtibli axtarış üsullar: 



 

addımın yarıya bölünməsi ; 



 

qızıl kəsik; 



  dixotomiya; 



 

Fibonaççi ardıcıllığina əsaslanan üsul; 

Bu  üsullar  birdəyişənli    funksiyanın  optimallaşdırmasında  istifadə 

olunur.Yəni  birölçülü axtarış qsullarına aiddir. 



 

skanlaşdırma üsulu (torun bütün düyün nöqtələrində axtarış); 



 

koordinatlar 

üzrə 

axtarış 

(Qaus-Zeydel 

və 

onun 

müxtəlif 

modifikasiyaları, məsələn, Xuk-Civs üsulu); 



 

müxtəlif  simplekslərin,  məsələn,  üçbucaq  şəkilli,  qurulmasına 

əsaslanan simpleks üsullar və s.; 



 

təsadüfi axtarış üsulu. 

Bir tərtibli üsullar: 



 

qradiyent  üsulları  (ən  tez  enmə,  qradiyentin  proekləndirilməsi,  qoşma 

qradiyentlər, David-Fletçer-Paull  üsulları və s.). 

İki tərtibli üsullar: 



 

Nyuton və kvazinyuton alqoritmləri. Bu üsullarda məqsəd funksiyasının 

ikinci tərtib törəmələrindən təşkil olunmuş Qesse matrisindən istifadə olunur. 

 

12.3. Opt

imallaşdırmanın analitik üsulları 

 

12.3.1. Birdəyişənli funksiyanın şərtsiz (məhdudiyyətlərsiz)     

ekstremumu 

 

      Fərz edək ki, məqsəd funksiyası  f(x) fasiləsiz diferensiallanan funksiyadır. 

     

Riyazi analizdən məlum olduğu kimi ektremumun zəruri şərti birinci tərtib 

törəmənin sıfra bərabər olmasıdır: 

 

361 

 

.

0

)

(



dx

x

df

 

    Törəmənin  sıfra  bərabər  olduğu  x

0 

nöqtəsi  f(x)  funksiyasının  stasionar 

nöqtəsi  adlanır.  Bu  nöqtədə  f(x)  funksiyasına  çəkilən  toxunan  absis  oxuna 

paralel  olur.Yəni  törəmənin  ifadə  etdiyi  bucaq  əmcalı  sıfra  bərabər  olur. 

Stasionar nöqtə maksimum, minimum və ya əyilmə nöqtəsi ola bilər.Stasionar 

nöqtənin tipi optimallığın kafi şərtindən tapılır. 

     Əgər  x

0

  nöqtəsində  funksiyanın  ikinci  törəməsi  sıfırdan  böyükdürsə,  bu 

nöqtədə funksiya minimuma malikdir: 

.

0

)

(

2

2



dx

x

f

d

 

     Əgər  x

0

  nöqtəsində  funksiyanın  ikinci  törəməsi  sıfırdan  kiçikdirsə,  bu 

nöqtədə funksiya maksimuma  malikdir: 

.

0

)

(

2

2



dx

x

f

d

 

     

Şəkil  12.1,  a  və  b-də  uyğun  olaraq  funksiyanın  maksimum  və  minimum 

nöqtələri göstərilmişdir. 

 

 

                                       a)                                        b) 

Şəkil 12.1 

 

     

Misal 12.1.

 

.

1

2

3

)

(

2







x

x

x

f

 

;

3

1

;

0

2

6

0









x

x

dx

df

 

                                          

.

0

6

)

3

/

1

(

2

2





dx

f

d

 

     Funksiya x

0

=1/3 nöqtəsində minimuma malikdir. Başqa sözlə, funksiyanın 

aldığı f(1/3)=-4/3 qiyməti onun minimal qiymətidir. 

     Şəkil 12.2-də funksiyanın qrafiki göstırilmişdir. 

 

362 

 

 

 

 

 

 

Şəkil 12.2 

 

     

12.3.2. Çoxdəyişənli funksiyanın şərtsiz ekstremumu 

 

     

Bu halda məqsəd funksiyası  

)

,...,

,

(

)

(

2

1

n

x

x

x

f

x

f



şəklində verilir. Burada 

 

n

x

x

x

x

T

n





)

,...,

,

(

2

1

 ölçülü vektordur. 

     Bütün dəyişənlər üzrə optimallığın zəruri şərti: 

.

0

)

(

....

..........

,

0

)

(

,

0

)

(

2

1







n

dx

x

df

dx

x

df

dx

x

df

 

       Stasionar nöqtənin koordinatları 

T

n

x

x

x

x

)

,...,

,

(

0

20

10

0



 , yəni optimal həll 

bu cəbri tənliklər sisteminin həllindən tapılır. 

      Bu  halda  ekstremumun  zəruri  şərti  ikinci  və  qarışıq  törəmələrdən  tərtıb 

olunmuş aşağıdakı Qessi matrisinin (Qessian)  diaqonal minorlarının işarəsi ilə 

təyin olunur: 

 

363 

 

.

...

.........

..........

..........

..........

...

...

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2



































































































n

n

n

n

n

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f

x

x

f

x

x

f

x

f

Q

 

    

Diaqonal minorlar

 

n







,...,

,

2

1

: 

...

)

(

,

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

f

f

f

f

f

f

f











































və s. 

     Əgər  x

0

  nöqtəsində  bütün  diaqonal  minorları  sıfırdan  böyük  olarsa  bu 

nöqtədə funksiya minimal qiymət alır: 

.

0

,...,

0

,

0

2

1













n

 

     Əgər  x

0

  nöqtəsində  tək  indeksli  minorlar  mənfi,  cüt  indeksli  minorlar  isə 

müsbət olarsa bu nöqtədə funksiya maksimal qiymət alır: 

.

,...

0

,

0

,...,

0

,

0

1

2

2

2

1



















k

k

 

     Yəni baş minorların işarəsi növbələşməlidir. 

n-in böyük qiymətlərində Qesse matrisini Matlabda tapmaq sərfəlidir. 

     Bu mqsədlə sintaksis: