Hosilani funksiyani tekshirishga tadbiqi

5 - Teorema. (3 - yetarli shart) f(x) funksiya uchun x₀ nuqta va o’z navbatida f ‘(x₀) = f «(х₀) - f^(n-1)(x₀) = 0 tengliklar o’rinli va f ⁽ⁿ⁾(x₀) ≠ 0 bo’lsin. Unda:

1. 
   agar n juft bo’lib, f⁽ⁿ⁾ (x₀) <0 bo’lsa, x₀ - qat’iy maksimum nuqta, f⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0 bo’lsa, x₀ – qat’iy minimum nuqta bo’ladi;
   
2. 
   agarda n - toq bo’lsa, x₀ - ekstremum nuqta bo’lmaydi.
   

Masalan, у = х⁴ funksiya uchun y’(x) = 4x³, y»(x) = 12x², y’»(x) = 24x, y»«(x) 24. y’ = 0 tenglama yechimi x = 0 statsionar nuqtada y’(0) = y»(0) = y’»(0) = 0 va y»«(0) = 24 > 0 bo’lgani uchun, uchinchi yetarli shartga ko’ra x = 0 - qat’iy minimum nuqta va y(0) = 0.
3. Funksiyaning to’plamda eng katta va eng kichik qiymatlari
Amaliy iqtisodiyot, xususan optimatlash masalalarida funksiyaning V to’plamda eng katta va eng kichik qiymallarini, ya’ni global ekstrcmumlarini topish muhim ahamiyatga ega.
Bir o’zgaruvchili y = f(x) funksiya biror - bir V€R, to’plamda aniqlangan va x₀ € V bo’lsin.
Agar liar bir x₀ € V uchun f(x) ≤ f(x₀) tengsizlik bajarilsa, x₀ nuqtada f(x) funksiya o’zining eng katta f_max= f(x₀) qiymatini qabul qiladi va aksincha, har bir x € V uchun f(x) > f(x₀) munosabat o’rinli bo’lsa, u holda x₍₎ nuqtada f(x) funksiya o’zining eng kichik f_min= f(x₀) qiymatiga erishadi deyiladi.
Agar y = f(x) funksiya V = [a;b] kesmada uzluksiz bo’lsa, ixcham to’plamda uzluksiz funksiya xossalaridan biriga ko’ra (§5ga qarang) u ushbu kesmada o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qiladi. Funksiya o’zining global ekstremumlarini nafaqat kesmaga tegishli ekstremum nuqtalarida, shu bilan birga uning chetki nuqtalarida ham erishishi mumkin.
Funksiyaning kesmada eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun:
a) funksiyaning kesmaga tegishli kritik nuqtalari aniqlaniladi;
b) funksiyaning topilgan kritik nuqtalarida va kesmaning chetki nuqtalarida qiymatlari hisoblanadi;
c) ushbu qiymatlar o’zaro solishtiriladi va eng katta, eng kichigi tanlanadi.
Masala. f(x) = x + l/x , [0.01;10] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
f ‘(x) = (x + 1/x)’ = 1-1/x² boiib, x = ±1 nuqtalar funksiyaning statsionar nuqtalaridir. Ulardan x = l nuqta kesmaga tegishli yagona statsionar nuqta.
Shunday qilib, x = 0,01, x = 1 va x = 10 nuqtalarda funksiya qiymatlarini hisoblaymiz:
f (0,01) = 100,01; f (1) = 2; f (10) = 10,1. Demak, qaralayotgan kesmada funksiyaning global minimumi x = 1 nuqtada bo’lib, f _min = f (1) = 2, x = 0,01 nuqta esa uning global maksimumi va f _max = f (0,01) = 100,01.
Agar qaralayotgan kesmada funksiya uzilish nuqtalariga ega bo’lsa, yuqoridagilarga qo’shimcha, funksiyani uzilish nuqtalarida tekshirishlar qo’shiladi. Funksiya (a;b) intervalda berilgan bo’lsa, funksiyani a nuqtada o’ngdan, b nuqtada esa chapdan tekshirish talab qilinadi.