I bob. Matematika darslarida burchak va uning turlari bilan tanishtirish

2.2.Muntazam ko‘p burchaklar va ularning barcha tomonlari
muntazam ko‘pburchaklar ularning barcha tomonlari va ichki burchaklari teng bo‘lganlardir. Quyidagi rasmda turli xil ko‘pburchaklar to‘plami mavjud bo‘lib, ular yopiq egri chiziq bilan cheklangan tekislik figuralari bo‘lib, faqat ta'kidlanganlari doimiy bo‘lish shartlariga javob beradi.
Masalan, teng qirrali uchburchak muntazam ko‘pburchakdir, chunki uning uch tomoni bir xil va ichki burchaklari har biri 60º ga teng.
Kvadrat to‘rtburchak bo‘lib, to‘rt tomoni teng o‘lchovga ega va ichki burchaklari 90º ga teng. Muntazam beshburchak beshta yon tomoni teng va beshta ichki burchagi har biri 108º ga teng.
Ko‘pburchak muntazam bo‘lsa, bu so‘z uning maxsus nomiga qo‘shiladi, shuning uchun bizda odatiy olti burchak, odatiy olti burchak va hk.
Muntazam ko‘pburchaklarning xususiyatlari
Muntazam ko‘pburchaklarning eng muhim xususiyatlari quyidagicha umumlashtirilishi mumkin:
- Yon tomonlarning o‘lchami bir xil, shuning uchun ular teng tomonli.
-Bu teng burchakli, chunki uning barcha ichki burchaklari teng o‘lchovga ega.
-Ularni har doim aylana shaklida yozish mumkin, bu ularning bir biriga mukammal mos kelishini bildiradi atrofi aylana.
- n qirralari bo‘lgan muntazam ko‘pburchak uchun a ichki burchak o‘lchovi quyidagicha:
a = [180 (n-2)] / n
-Ko‘pburchakning tepalaridan n (n-3) / 2 diagonallarini odatiy bo‘ladimi yoki yo‘qmi chizishingiz mumkin.
- ning yig‘indisi tashqi burchaklar u 360º ga teng.
Muntazam ko‘pburchakning elementlari
Keyin biz quyidagi rasmda tasvirlangan muntazam ko‘pburchakning asosiy elementlarini taqdim etamiz.
Tepalik
Ikkala ketma-ket tomonga ega bo‘lgan umumiy nuqta, rasmda V deb ko‘rsatilgan.
Yon
Bu ko‘pburchakning ketma-ket ikkita vertikalini birlashtirgan va ℓ yoki L deb belgilangan segment.
Diagonal
Ko‘pburchakning ketma-ket ikkita vertikalini birlashtirgan segment, rasmda u quyidagicha ko‘rsatilgan d.
Markaz
Bu O harfi bilan belgilangan, chizilgan aylana va sun'iy aylananing umumiy markazi bo‘lib, uni har ikki tomonning tepalari va o‘rta nuqtalaridan teng masofada joylashgan yagona nuqta sifatida ko‘rish mumkin.
Radio
Bu radio r aylananing doirasi va O bilan tepalik orasidagi masofaga to‘g‘ri keladi.
Apothem
U deyiladi apotemiya rasmda harf bilan ko‘rsatilgan ko‘pburchakka yozilgan aylana radiusiga ga. Apotema bir tomonga perpendikulyar va uni O markazi bilan birlashtiradi (3-rasmdagi qizil segment).

R radiusi va tomonning uzunligini bilib, apotema quyidagicha hisoblanadi:

Darhaqiqat, apotema to‘rtburchak uchburchakning oyoqlaridan biri (3-rasmga qarang), boshqa oyog‘i ph / 2 (tomonning yarmi) qiymati va gipotenus radiusi r ko‘pburchakning
Ushbu uchburchakka Pifagor teoremasi tatbiq etilganda, bu tenglama olinadi, bu nafaqat olti burchak uchun, balki har qanday muntazam ko‘pburchak uchun ham amal qiladi.
Markaziy burchak
Bu tepalik O markaziga to‘g‘ri keladigan va yon tomonlari markazni ketma-ket ikkita vertikal bilan birlashtirgan segmentlar bo‘lgan burchakdir. Jinsiy darajadagi o‘lchovi 360º / n ni tashkil qiladi, bu erda n ko‘pburchak tomonlarining soni.
Sagita
Bu ko‘pburchak radiusi va apotema o‘rtasidagi farq (3-rasmga qarang). Sagitni S deb belgilash:
S = r - a
Perimetri va maydoni
Perimetri
Yonlarning uzunligini qo‘shib osongina hisoblab chiqiladi. Har qanday tomonning uzunligi L ga teng va n tomonlari bo‘lgani uchun P perimetri quyidagicha ifodalanadi:
P = n.L
Maydon
Muntazam ko‘pburchakda A maydon yarim perimetr (perimetrning yarmi) va apotemaning uzunligi orasidagi mahsulot bilan berilgan. ga.
A = P.a / 2
Perimetri n tomonlar soniga bog‘liq bo‘lgani uchun quyidagicha chiqadi:
A = (nL) .a / 2
Ikkita muntazam ko‘pburchaklar bir xil sonli tomonlarga ega bo‘lmasa ham, bir xil perimetrga ega bo‘lishi mumkin, chunki bu tomonlarning uzunligiga bog‘liq bo‘ladi.
Uning V kitobida To‘plam, buyuk qadimgi yunon matematiklarining so‘ngi matematikasi Aleksandriyalik Pappus (290-350) shuni ko‘rsatdiki, bir xil perimetri bo‘lgan barcha muntazam ko‘pburchaklar orasida eng katta maydonga ega bo‘lgan tomonlar soni eng ko‘p.
Burchaklar
Muntazam ko‘pburchakdagi tegishli burchaklar 4-rasmda yunoncha a, b va b harflari bilan ko‘rsatilgan.
Markaziy burchak
Ilgari biz odatiy ko‘pburchakning elementlari orasidagi markaziy burchakni eslatib o‘tdik, bu uning uchi ko‘pburchakning markazida joylashgan va yon tomonlari markazni ketma-ket ikkita vertikal bilan birlashtirgan segmentlardir.
Markaziy burchak a o‘lchovini hisoblash uchun 360º ni n, tomonlar soniga bo‘ling. Yoki $ n $ orasidagi $ 2 mathrm radian:
a = 360º / n
Radianlarda teng:
a = 2π / n
Ichki burchak yoki ichki burchak
4-rasmda ichki burchak β, uning tepasi shaklning biriga to‘g‘ri keladi va uning tomonlari ham figuraning yon tomonlari. Jinsiy darajalarda quyidagicha hisoblanadi:
b = [180 (n-2)] / n
Yoki radyanlarda:
b = [π (n-2)] / n
Tashqi burchaklar
Ular yunoncha letter harfi bilan belgilanadi. Rasmda γ + β = 180º ekanligi ko‘rsatilgan. Shunday qilib:
γ = 180º – β
Doimiy ko‘pburchakka barcha tashqi burchaklarning yig‘indisi 360º ga teng.
Muntazam ko‘pburchaklarga misollar
Keyin bizda dastlabki 8 ta ko‘pburchak mavjud. Biz tomonlar soni ko‘paygan sari ko‘pburchak ular yozilgan aylanaga tobora ko‘proq o‘xshashligini kuzatamiz.
Yon tomonlarning uzunligini kichikroq va kichraytirib, ularning sonini ko‘paytirib, aylanani olamiz deb tasavvur qilishimiz mumkin.

- kundalik hayotda va tabiatda muntazam ko‘pburchaklar

Muntazam ko‘pburchaklar kundalik hayotda va hatto tabiatda hamma joyda uchraydi. Keling, ba'zi misollarni ko‘rib chiqaylik:
Yo‘l harakati signallari
Teng tomonli uchburchaklar, kvadratchalar va romblar kabi muntazam ko‘pburchaklar biz avtomagistral va yo‘llarda ko‘rgan belgilarda juda ko‘p. 6-rasmda biz sakkiz burchakli to‘xtash belgisini ko‘ramiz.

Mebel
Son-sanoqsiz mebellar kvadratchaga ega, masalan, xarakterli geometrik figura sifatida, xuddi shuncha stol, stul va skameykalar to‘rtburchak. Parallelepiped - bu odatda to‘rtburchaklar shaklidagi qirralari bo‘lgan quti (bu odatiy ko‘pburchak emas), lekin ularni kvadrat shaklida ham qilish mumkin.

Arxitektura va qurilish
Uylarda ham, ko‘chalarda ham pollar va devorlardagi plitkalar odatiy ko‘pburchaklarga o‘xshash shaklga ega.
Tessellations - bu turli geometrik shakllarga ega bo‘lgan butunlay plitkalar bilan qoplangan sirt. Uchburchak, kvadrat va olti burchak yordamida siz bo‘sh joy qoldirmasdan, faqat bitta turdagi rasmlardan foydalangan holda muntazam tessellations qilishingiz mumkin (6-rasmga qarang).
Shuningdek, binolar derazalar va bezak kabi elementlarda odatiy ko‘pburchaklardan foydalaniladi.
- tabiatdagi muntazam olti burchakli
Ajablanarlisi shundaki, muntazam olti burchak - bu tabiatda tez-tez paydo bo‘ladigan ko‘pburchak.
Asalarilarni asal saqlash uchun yasagan taroqlari odatiy olti burchakli shaklga keltirilgan. Iskandariya Pappusi kuzatganidek, asalarilar imkon qadar ko‘proq asal saqlash uchun joyni optimallashtiradi.
Shuningdek, toshbaqalar va qor parchalari qobig‘ida muntazam olti burchakli bor, ular ham har xil juda chiroyli geometrik shakllarni oladilar.
Mashq hal qilindi
Oddiy olti burchakli rasmda ko‘rsatilgandek, radiusi 6 sm bo‘lgan yarim doira ichiga yozilgan. Soyali maydonning qiymati qanday?
Qaror
Soyali maydon - bu radius R = 6 sm bo‘lgan yarim doira maydoni va butun olti burchakning maydoni, oddiy 6 qirrali ko‘pburchak orasidagi farq. Shunday qilib, ushbu raqamlarning har birining maydoni uchun formulalar kerak bo‘ladi.
Yarim doira maydoni
TO₁ = π R² / 2 = π (6 sm)² / 2 = 18π sm²
Muntazam olti burchakning maydoni
Muntazam ko‘pburchakning maydonini hisoblash formulasi:
A = P.a / 2
Qaerda P perimetri va ga apotemadir. Perimetri tomonlarning yig‘indisi bo‘lgani uchun, biz ularning qiymatiga muhtoj bo‘lamiz. Oddiy olti burchak uchun:
P = 6ℓ
Shunday qilib:
A = 6ℓa / 2
Side tomonning qiymatini topish uchun yordamchi figuralarni qurish kerak, ularni quyida tushuntiramiz:

Gipotenuzasi ℓ bo‘lgan chap tomondagi kichik uchburchakdan boshlaymiz. Olti burchakning ichki burchagi:

a = [180 (n-2)] / n = a = [180 (6-2)] / 6 = 120º
Yashil rangda chizgan radiusimiz bu burchakni ikkiga ajratadi, shuning uchun kichik uchburchakning o‘tkir burchagi 60º ga teng. Berilgan ma'lumot bilan ushbu uchburchak apotemaga teng bo‘lgan och ko‘k tomonni topib echiladi:
Qarama-qarshi oyoq = a = -x x sin 60º = -3 / 2 sm
Ushbu qiymat bu dubl o‘ngdagi katta uchburchakning to‘q moviy oyog‘idan, ammo bu uchburchakdan biz gipotenuzaning 6 sm ga teng ekanligini bilamiz, chunki u yarim doira radiusi. Qolgan oyoq (pastki) ℓ / 2 ga teng, chunki O nuqta yon tomonning o‘rtasida joylashgan.
Ushbu uchburchakning ichki burchaklari ma'lum bo‘lmaganligi sababli, biz u uchun Pifagor teoremasini aytishimiz mumkin:
36 = 3 ℓ² + ℓ² / 4
(13/4) ℓ² = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 sm = 12 / -13 sm
Ushbu qiymat bilan apotema hisoblanadi:
a = -3 / 2 sm = (12 / -13) x (-3 / 2) sm = 6√3 / -13 sm
Qo‘ng‘iroq qilaylik₂ muntazam olti burchakli maydonga:

= 28,8 sm²
Soyali raqamlar maydoni
TO₁ - TO₂ = 18π sm² - 28,8 sm² = 27,7 sm²
Ko‘pburchakda (ko‘pburchaklar) diagonallar sonini qanday topish mumkin - Maslahatlar