I. Qatorlar haqida tushunchalar 1 Sonli qatorlar

x = x₀ bo`lganda
. (1.3.16)
Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:
(1.3.17)
(1.3.13), (1.3.14), (1.3.16) va (1.3.17) lardan (1.3.18)- qator koeffisiyentlarini topamiz:
, , ,…, ,… (1.3.19)
a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.
Agar (1.3.18)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari (1.3.13)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:
(1.3.20)
f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:

R_n (x) – qoldiq had.
Bunda,
.
Makloren qatori. Faraz qilaylik, berilgan f(x) funktsiya quyidagi darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
(1.3.21)
Bundagi a₀, a₁, a₂, a₃,… lar aniqmas koeffisiyentlardan iborat. Shu koeffisiyentlarni berilgan f(x) funktsiya orqali ifodalaymiz. Darajali qatorni uning yaqinlashish oraligi da hadlab differentsiallaymiz:

Hosil bo`lgan tengliklar va (1.3.3.1) tenglikda x=0 deb, quyidagi a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>,… larga ega bo`lamiz:
, , , , ,
Bu qiymatlarni (1.3.1) qatorga qo`yamiz:
(1.3.22)
Hosil bo`lgan (1.3.2) qatorga Makloren qatori deyiladi.

formula esa qoldiq hadli Makloren formulasidir.
Teylor va Makloren qatorlaridan ko`rinadiki, Makloren qatori Teylor qatorining xususiy holidan iborat bo`lib, Teylor qatoridagi x = 0 bo`lganda ikkala qator ham bir xil ko`rinishga ega bo`ladi.


I bob xulosasi.
I bob 3 qismdan iborat bo’lib, sonli qatorlar va ularning yaqinlashuvchanligi, funksional qatorlar, darajali qator tushunchalari o’rganilgan. Funksiyalarni Teylor qatoriga yoyishga doir misollar o’rganilgan. Darajali qatorlar uchun Abel va Koshi-Adamar teoremalari isboti bilan berilgan. Qatorlarning yaqinlashuvchi bo’lishi va yaqinlashish to’plamlari to’la o’rganilgan ularga doir misollar keltirilgan.