Ikkinchi tartibli sirtlar

sirt deyiladi va (12.3) tenglama bilan ifoda qilingan sirt ikkinchi tartibli markazsiz(yoki markazi cheksizlikdagi) sirt deyiladi. Faraz qilaylik, ikkinchi tartibli markazli sirtning eng sodda tenglamasi berilgan bo‘lsin: X1x^2 + X2y^2 + X3z^2 + F = 0 (12.4) va bundagi ozod had bo‘lgan F ning ishorasi qolgan koeffitsiyentlarining ishorasiga teskari bo‘lsin. Tenglamaning F koeffitsiyentini o‘ng tomonga o‘tkazib, so‘ngra uning ikkala tomonini (-F) ga bo‘lamiz:
^1X^2 + ^2y^2 + ^3Z^2 = -F, -F ^1 -F ^1 -F ,
yoki	x^2 y^2 z^2 77 + 77 + 77 — 1. (12.5) FFF ^-лг -л; -я;

(12.4) tenglamaning koeffitsiyentlari to‘g‘risida qilingan farazga muvofiq F ning ishorasi qolgan koeffitsiyentlarning ishorasiga teskari bo‘lgani uchun, (12.5) tenglamaning chap tomonidagi har bir kasrning maxraji musbat bo‘ladi. Shuning uchun ulardan birinchisini a², ikkinchisini b² va uchinchisini c² deb faqaz qilamiz:

F 2 F 2 F 2 ~T1 ^= a’ ~T2 ^= b’ ~T3 ^= C , ^(12'^6) demak, (12.5) tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi: ^ + ^ + ^=1. (12.7) a^2 b^2 c^2 Bu tenglama bilan ifoda qilingan sirt ellipsoid deyiladi. * z 12.1.1-chizma Tenglamaning tuzilishiga qaraganda uning chap tomonidagi har bir kasrning qiymati birdan katta bo‘la olmaydi, ya’ni X^2	У^2	x^2
— <1	— < 1,
a^2 < ,	b^2 < ,	c^2
x^2 < a^2,	У^2 < b^2,	z^2

|У| < b,


< 1,


< c²,


yoki


demak,


|z| < c.


|x| < a,
Endi ellipsoidning shaklini tekshiramiz. Buning uchun eng avval uning koordinata o‘qlari bilan uchrashgan nuqtalarini topamiz. Agar (12.7) tenglamada у = 0, z = 0 faraz qilinsa, x = ±a bo‘ladi, ya’ni absissa o‘qi ellipsoidni koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan X(a; 0; 0) va X1(-a;0;0) nuqtalarda kesib o‘tadi. Shunga o‘xshash x = 0, z = 0 faraz qilinsa, y = ±b bo‘ladi, ya’ni ordinata o‘qi ellipsoidni koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan B(0; b; 0) va B1(0; -b; 0) nuqtalarda kesib o‘tadi; x = 0, y = 0 faraz qilinsa, z = ±c bo‘ladi, ya’ni applikata o‘qi ellipsoidni koordinatalar

boshiga nisbatan simmetrik bo‘lgan C(0;0;c) va C1(0;0;—c) nuqtalarda kesib o‘tadi. Aniqlangan nuqtalardan A — ellipsoidning yOz tekislikdan eng uzoqlashgan nuqtasi bo‘ladi; shunga o‘xshash qolgan nuqtalar ham tegishli koordinata tekisliklaridan eng uzoqlashgan nuqtalardan iborat. Shuning uchun ularni ellipsoidning boshlari deyiladi va har ikki nuqtalarning orasidagi 2a, 2b, 2c masofalar ellipsoidning o‘qlari deyiladi. Ellipsoidning o‘qlari to‘g‘risida qo‘shimcha shart bo‘lmagan holda a > b > c faraz qilinadi. Tekshirishdan chiqarilgan natijalarga qaraganda ellipsoid yopiq sirtdan iborat, chunki u x = ±a, y = ±b, z = ±c tekisliklardan yasalgan parallelepipedning ichida bo‘ladi. Endi ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesilishidan hosil bo‘lgan shakllarni tekshiramiz. Masalan, xOy tekisligi bilan kesish uchun z = 0 faraz qilishga to‘g‘ri keladi va bu holda (12.7) ning ko‘rinishi ushbu ko‘rinishida bo‘ladi: 22 X^2 y^2 — + — = 1. a^2 + b^2	(12.8)
Shunga o‘xshash y = 0 faraz qilinsa, 22 x^2 y^2 ~â^2 + 'c^2=r	(12.9)
va x = 0 faraz qilinsa, 22 x^2 y^2lb- ^+ ^	(12.10)

(12.8), (12.9), (12.10) tenglamalardan har biri ellipsni ifoda qiladi. Demak, ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesimlari ellipslardan iborat. Bular ellipsoidning bosh kesimlari deyiladi.
Endi ellipsoidni koordinata tekisliklariga parallel bo‘lgan


tekisliklar bilan kesib ko‘ramiz. Masalan, xOy tekislikka parallel bo‘lgan tekislikning tenglamasini birgalikda yechishga to‘g‘ri keladi.
z = k ni (12.7) ga qo‘yilsa:
x² y² k²
a2⁺b2⁺7²⁼¹’

yoki

2 2
X y²
— + —=1 a² + b²


k²
72


yoki


x²
a²(c²-k²)
c²


■ ^y
+ b²(c² -k²)
c²


= 1,


yoki


a²(c²-k²)
c²


= al,


b²(c²-k²)
c²


= b²2


faraz qilinsa, tenglamani ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
22
X² y²
a2 ⁺ bi⁼¹'


(12.11)
(12.12)


Bu tenglama ellipsni ifoda qiladi. Biroq, bu ellipsning haqiqiy


bo‘lishi uchun |k| < c bo‘lishi lozim, chunki (12.11) dagi tengliklarga


qaraganda |k| > c bo‘lgan holda a1 va b1 mavhum bo‘ladi. Shunga


o‘xshash ellipsoidni yOz va xOz tekisliklarga parallel bo‘lgan tekislik bilan kesgan holda ham hamon shu kabi natija kelib chiqadi, ya’ni ellips hosil bo‘ladi.


Ellipsoidning o‘qlaridan ikkitasi o‘zaro teng bo‘lganda, unday ellipsoid aylanma ellipsoid deyiladi. Masalan, ellipsoidning (12.7)


tenglamasida a = b > c faraz qilinsa, u tenglamaning ko‘rinishi
x² + y² z²
■ ' ⁽¹²¹³⁾
bo‘ladi va bu ellipsoid siqma ellipsoid deyiladi, chunki
x² z²
V2 T2
ellipsning kichik o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘ladi.


Agar (12.13) da z = 0 deb faraz qilinsa,
x² + y² = a²
bo‘ladi

1. 
   Ikkinchi tartibli sirtlarning to‘g‘ri chiziqli yasovchilari.
   

Konus va silindrlar to‘g‘ri chiziqli yasovchilarni o‘z ichiga olgan birdan - bir sirtlardan emas. Ma’lum bo‘lishicha, bir pallali giperboloid bilan giperbolik paraboloid ham shu xossaga ega ekan.


^z=^(-⁺9’
Va b'
tenglamalar bilan berilgan har
paraboloid:


>40
bir g_A to‘g‘ri chiziq


giperbolik


2


(13.2)


x²
'Z = ~₂
a²
ni ustida yotadi, chunki (13.1) tenglamalarni qanoatlantiruvchi, (13.2)
tenglamani qanoatlantiradi, (13.2) esa (13.1) dan hadma - had
ko‘paytirish natijasida hosil qilinadi.
Giperbolik paraboloid ustida g^ oiladan tashqari to‘g‘ri
chiziqlarning yana bitta g/ oilasi joylashadi:
z = a(G£), 1 = I(--D
Va b A Va b'
Shuning singari bir pallali giperboloid:
2 2 2
x² y² Z²
O^{2 +} b^2-C^{2-1 =} °.
ustida to‘g‘ri chiziqli yasovchilarning ikkita oilasi joylashadi:
^{x z} _ 1 (a
^gz^: = M^{1 —} tJ'
ac b


X Z 1 / y\
- + - = T⁽¹ +t) ;
a c A v b

13. 
    KKINCHI TARTIBLI SIRTLARNING TO‘G‘RI
    CHIZIQLI YASOVCHILARI.
    

_9Ä'-. i_i=A(i+g, ^x-₊^z- =|(₁_j).
а c b а с Л b
Ikkila holda (giperbolik paraboloid va bir pallali giperboloid) ham bitta oilaga qarashli to‘g‘ri chiziqli yasovchilar kesishmaydi, turli oilaga qarashli to‘g‘ri chiziqlar esa kesishadi.
Giperbolik paraboloid bilan bir pallali giperboloidda to‘g‘ri chiziqli yasovchilarning mavjudligi bu sirtlarni hosil qilishning yangi usulini berish imkoniyatini tug‘diradi; bir oilaga qarashli uchta to‘g‘ri chiziqli yasovchini olamiz: g1, g₂, g₃. Bunday holda ikkinchi oilaga tegishli har bir to‘g‘ri chiziqli yasovchi g yuqoridagi g1, g₂, g₃ ni kesadi. Demak, sirt berilgan uchta to‘g‘ri chiziqni kesadigan to‘g‘ri chiziqlardan tashkil topadi (13.1.1-chizma).





13.1.1-chizma 13.1.2-chizma


Bir pallali aylanma giperboloid masalasiga kelganda, uning
istalgan to‘g‘ri chiziqli yasovchisining sirt o‘qi atrofida aylantirish
natijasida ham hosil bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz (13.1.2-chizma).
Ikkinchi tartibli boshqa sirtlarda ham to‘g‘ri chiziqli
yasovchilarning mavjud bo‘lishini pirovardida aytib o‘taylik, biroq bu
sirtlarda ular - mavhum. Masalan,
x² y² z²
а²⁺ь²⁺с^2-1-0
ellipsoid ustida mavhum to‘g‘ri chiziqlarning
X z
i-
с


* ^z yx
gx~ +- ^{(1 -} ■г ),
ас b


4(4);


а








g_A':-+î^Z = ¿(1+^),
a c v b
ikkita oilasi joylashdi.


a--=î(*-i)

2. 
   Ellipsoid va sferaning urinma tekislik tenglamalari.
   

l.Fazoda


^-2 + ^yT₂ + ^-2=i (13-3)
a² b² c²
tenglama bilan berilgan ellipsoidni biror ixtiyoriy tekislik bilan kesib ko‘ramiz. Faraz qilaylik, bu tekislikning tenglamasi
Ax + By + Cz + D = 0 (13.4)
bo‘lsin. Bu tenglama bilan (13.3) tenglama birgalikda izlangan kesimni ifoda qiladi. Agar bu tenglamalardan z chiqarilsa, izlangan kesimning xOy tekislikdagi proyeksiyasi hosil bo‘ladi. (13.4) dan (C ^ 0):
Ax + By + D


buni ellipsoidning (13.3) tenglamasiga qo‘ysak:
^X\|_ y\|_ (^^X + By + D)²
yoki qavslarni ochib, quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
(a⁺2)^{x2 +} (¿2⁺2)^y2 +² ™ *^y+² +
BD D^2
+2-CT^y + ^2 ^{— C} =^0,


yoki


C² A² _ C² B² _
a²⁺'c²~^A1' b²⁺~~^>
AD BD D²


1


AB _ _ _
2 ^B1, 2 ^D1, 2 ^B1, 2
c² c² c² c²
faraz qilinsa:
A₁x² + 2B₁xy + C₁y² + 2D₁x + 2E₁y + F₁ = 0. (13.5)
Bu tenglama xOy tekislikda ikkinchi tartibli chiziqni ifoda qiladi. Bu
chiziqning jinsini tekshirish uchun M = B% — A₁C₁ va

A=

¿1
*i
5i
tuzishga to‘g‘ri keladi. Bizda


_ X²B² (6²c² + X²a²)(6²c² + B²b²)
" c²


1
1
h


'1
1
1


a²b²c⁴


(â²a² + B²b² + C²c²)_a2_b2_C4 < 0;
A ni tuzganda uning ifodasi quyidagicha bo‘ladi: X²a²+B²b² + 6²c²-^² .
A= 6⁴


(13.6)


₂._{2 4} (13.7)
a²b²c⁴
(13.6) ga qaraganda hamma vaqt M < 0, lekin (13.7) ga qaraganda A
ning noldan kichik yoki nolga teng bo‘lishi mumkin. Bunga qarab
(13.5) tenglama haqiqiy ellipsni yoki mavhum ellipsni yoki nuqtani
ifoda qiladi. (13.7) ning tuzilishiga qaraganda A ning miqdori o‘z
navbatida ushbu ifodaga bog‘liq:
a²X² + b²B² + c²6² - £². (13.8)
Agar bu ifoda musbat bo‘lsa, A< 0 bo‘ladi va bu holda izlanayotgan


kesim haqiqiy ellipsdan iborat bo‘ladi; shunga o‘xshash agar (13.8) manfiy bo‘lsa, A> 0 bo‘ladi va bu holda izlangan kesim mavhum ellipsdan iborat bo‘ladi, agarda (13.8) nolga teng bo‘lsa, bu holda A= 0 bo‘ladi va izlangan kesim nuqtaga aylanadi.
Agarda tekislik ellipsoidni kessa, ellips hosil bo‘ladi, yoki tekislik bilan ellipsoidning umumiy nuqtasi bo‘lmaydi, yoki ikkalasining umumiy nuqtasi bo‘ladi.
Tekislik bilan ellipsoidning bir umumiy nuqtasi bo‘lganda, ya’ni tekislik ellipsoidga urunma bo‘lganda
a²X² + b²B² + c²6² - £² = 0 (13.9)
bo‘ladi. Bu munosabatga asoslanib, ellipsoidga urinma bo‘lgan tekislikning tenglamasini tuzish mumkin. Haqiqatdan ham (13.9) ni ushbu ko‘rinishda yozish mumkin:
(-Aa2+(-AA-?p-








ya’ni koordinatalari
^xi = --j^' yi = --^' ^{Z1 =} ^T ⁽¹³-¹⁰⁾
bo‘lgan nuqta ellipsoid tenglamasini qanoatlantiradi. Ikkinchi
tomondan (13.9) ta’minlanganda (x₁;y₁; z₁) nuqtaning koordinatalari
(13.4) tekislikning tenglamasini ham qanoatlantiradi. Demak,
(x₁;y₁;z₁) nuqta (13.4) tenglamaning ellipsoidga urinish nuqtasi
bo‘ladi. Ellipsoidga urinma bo‘lgan (13.4) tekislikning
koeffitsiyentlari (13.10) dan aniqlanadi:
. DX1 „ Dy1
= a² ’ ^B “ № ’ " ~


natijada, ellipsoidning (x₁;y₁;z₁) nuqtasidan
tekislikning tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
^+^+^=1.


Dz1
c² ’
o‘tgan


urinma


(13.11)


2.Fazoda


_X2+y²+_Z2 = R²


(13.12)
tenglama bilan berilgan sferani biror ixtiyoriy tekislik bilan kesib
ko‘ramiz. Faraz qilaylik, bu tekislikning tenglamasi


Ax + By + Cz + D = 0 (13.13)
bo‘lsin. Bu tenglama bilan (13.12) tenglama birgalikda izlangan kesimni ifoda qiladi. Agar bu tenglamalardan z chiqarilsa, izlangan


kesimning xOy tekislikdagi proyeksiyasi hosil bo‘ladi. (13.13) dan


Ax + By + D


buni sferaning (13.12) tenglamasiga qo‘ysak:
^^^By^^.
C²
yoki qavslarni ochib, quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
(X² + C²)x² + (B² + C²)y² + 2XBxy + 2XDx +
+2BDy + D² - C²R² = 0.


yoki

1

A² + C² = Д1, B² + C² = C1,
AB = B1, AD = D1, BD = B1, D² - C²R² = <
faraz qilinsa:
A1X² + 2B1xy + C1y² + 2D1x + 2В1У + F1 = 0. (13.14)
Bu tenglama %Oy tekislikda ikkinchi tartibli chiziqni ifoda qiladi. Bu
chiziqning jinsini tekshirish uchun M = B2 - X1C1 va


д=


1
1
1


1
1
1


Ai
Bi
Di
tuzishga to‘g‘ri keladi. Bizda


M = A²B² - (Д² + C²)(B² + C²) =
= -(X²C² +B²C² + C⁴) < 0;
Д ni tuzganda uning ifodasi quyidagicha bo‘ladi:
Д= -(X²R² + B²R² + C²R² - D²)C⁴


(13.15)


— (Л^_Л^_ + BR + - D)C • (13.16)
(13.15) ga qaraganda hamma vaqt M < 0, lekin (13.16) ga qaraganda
Д ning noldan kichik yoki nolga teng bo‘lishi mumkin.


(13.16) ning tuzilishiga qaraganda Д ning miqdori o‘z navbatida ushbu ifodaga bog‘liq:
A²R² + B²R² + C²R² - D². (13.17)
Agar bu ifoda Д< 0 va Д> 0 bo‘lsa, izlanayotgan kesim aylanadan iborat bo‘ladi; agarda (13.17) nolga teng bo‘lsa, bu holda Д= 0 bo‘ladi va izlangan kesim nuqtaga aylanadi.
Agarda tekislik sferani kessa, aylana hosil bo‘ladi, yoki tekislik bilan sferaning umumiy nuqtasi bo‘lmaydi, yoki ikkalasining umumiy nuqtasi bo‘ladi.
Tekislik bilan sferaning bir umumiy nuqtasi bo‘lganda, ya’ni tekislik sferaga urunma bo‘lganda
X²R² + B²R² + C²R² - D² = 0 (13.18)
bo‘ladi. Bu munosabatga asoslanib, sferaga urinma bo‘lgan tekislikning tenglamasini tuzish mumkin. Haqiqatdan ham (13.18) ni ushbu ko‘rinishda yozish mumkin: