Ájayıp limitler. Birinshi hám ekinshi ájayıp limitlar

Mısallar
1) y=2 x+1 funksiyanıń úzliksizligi kórsetilsin.
y+Dy=2 (x+Dx) +1, ayırmanı tabamız Dy=2 x+2Dx+1-2 x-1, Dy=2Dx
Dy= 2Dx =0
2) y=x³
y+Dy= (x+Dx) ³
Dy=x³+3 x²Dx+3 x (Dx) 2+Dx³ Dy=x³+3 x²Dx+3 xDx²+Dx³-x³
Dy=Dx (3 x²+3 xDx+Dx²)
Dy= (3 x²+3 xDx+Dx²) Dx=0.
3) f (x) =cosx funksiyanıń "x₀ÎR  noqatta úzliksiz bolıwın kórsetiń.
Sheshiw. "x₀ÎR  noqattı alıp oǵan Dx arttırıw bereyik. Nátiyjede f (x) =cosx da bul Dy=cos (x₀+Dx)-cosx₀ arttırıwǵa iye bolıp, hám -p bolǵanda
|Dy| =|cos(x₀+Dx) - cosx₀|=
munasábetke iye bolamız. Bunnan bolsa Dx®0 de Dy®0 bolıwı kelip shıǵadı.
Aytayıq, y=f(x) funksiya xÌR kóplikte anıqlanǵan bolıp, x₀(x₀ÎX) kópliktiń (oń hám shep) limit noqatı bolsın. Bunda x®x₀ de f(x) funksiya ushın tómendegi úsh jaġdaydan birewine atqarıladı:
1) shekli f(x₀-0), f(x₀+0) shep hám oń limitler bar hám
f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) teńlik orınlı. Bul halda f(x) funksiya x=x₀ de úzliksiz boladı;
2) f(x₀-0), f(x₀+0) ler bar, lekin f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) teńlikler atqarılmaydı, ol jaġdayda f(x)®x=x₀ noqatta bir tur úziliske iye dep ataladı;
3) f(x₀-0), f(x₀+0) lerdiń qandayda-birı sheksiz yamasa joq. Bul jaġdayda x₀ noqatda 2 tur úziliske iye dep ataladı;
4) f (x0-0) =f (x0+0) f (x0) bolsa bunday úzilis, jónge salıw qılıw múmkin bolǵan úzilis dep ataladı.
Mısal. Bul f (x) =[x] funksiyanıń x0=2 noqatda birinshi tur uzulishga iye ekenligin kórsetiń.
Sheshiw. Sonday eken,[x]=1, =2
Bunnan bolsa berilgen funksiyanıń x0=2 noqatda birinshi tur uzulishga iye ekenligi kelip shıǵadı.