Kafedrasi fanidan kurs ishi

2.2. n-tartibli bir jinsli bo`lmagan chiziqli differensial tenglamaning yechimini topishning Lagranch usuli
Ushbu
(2.2.1)
bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamani qaraylik. Shu bilan bir qatorda quyidagi
(2. 2.2)
bir jinsli differensial tenglamani ham qaraymiz. Agar (2. 2.2) bir jinsli differensial tenglamaning F.Y.S ma’lum bo`lsa, u holda (2. 2.1) bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini Lagranch (o`zgarmasni variyatsiyalash) usulidan foydalanib topish mumkin. Buning uchun (2. 2.1) bir jinsli bo`lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimini ushbu
(2. 2.3)
ko`rinishda izlaymiz. Bu yerda - hozircha no’malum funksiyalar. Endi, funksiyalarni shunday tanlaymizki natijada ushbu
, (2. 2.4)
munosabat bajarilsin. Bundan funksiyalarni aniqlash uchun quyidagi (n-1) ta algebreik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
, (2. 2.5)
Ushbu hosilalarning (2. 2.5) ifodalarini (1) differensial tenglamaga qo`yib, larga nisbatan, yana bir tenglamani olamiz:
(2. 2.6)
Bunda funksiyalar (2.2) differensial tenglamaning yechimlari
bo`lgani uchun , ,…, munosabatlar o’rinli bo`ladi. Shuning uchun (2.6) tenglik quyidagi ko`rinishga keladi:
(2. 2.7)
Hosil bo`lgan (2. 2.5), (2. 2.7) algebraik tenglamalar sistemasidan larni topish mumkin. Bu sistemaning asosiy determinanti F.Y.S dan tuzilgan vronskiyan bilan bir xil. Kramer qoidasiga asosan quyidagi

tengliklarga ega bo`lamiz. va funksiyalarning uzluksizligidan
, (2. 2.8)
formulaga ega bo`lamiz. Bu yerdagi integral ushbu, funksiyaning boshlang`ichi, ya`ni
,
-ixtiyoriy o`zgarmas sonlar. (2.2.8) tenglik orqali topilgan larni (2.2.3) formulaga qo`yib, (2.2.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
. (2. 2.9)