Karrali xosmas integralning ta’rifi

II BOB
KARRALI XOSMAS INTEGRAL
2.1-§. Karrali xosmas integralning ta’rifi.

Karrali integral tushunchasini chegaralanmagan to’plam va integral ostida chegaralanmagan funksiya bo’lgan hollar uchun umumlashtiraylik. da ochiq to’plam deb hisoblaymiz, - esa sohaning yopig’i, ya’ni ga uning chegarasi ham qo’shiladi.
2.1.1-ta’rif . ochiq chegaralangan to’plamlar ketma-ketligi uchun quyidagi shartlar bajarilsa
1)
2)
u holda to’plamlar ketma-ketligi to’plamning qoplovchisi deb ataladi.
2.1.1-lemma. to’plamlar ketma-ketligi to’plamning qoplovchisi, – to’plamdagi bo’sh bo’lmagan kompakt bo’lsin. U holda topiladiki buning uchun bo’ladi.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik shunday kompakt to’plam bo’lsinki bu uchun
bo’lib uchun bo’lsin. Bu esa uchun nuqta topiladiki u uchun bo’ladi. Shartga ko’ra – yopiq da chegaralangan to’plam, shuning uchun hosil bo’lgan ketma – ketlikdan ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. va - to’plamning qoplovchisi ekanligini e’tiborga olsak u holda biror ga tegishli bo’ladi. Shuning uchun nuqtaning atrofi mavjudki u to’plamiga tegishli va lar uchun bo’ladi. Bundan uchun bo’ladi, bu esa nuqtani tanlanishiga zid. Bu ziddiyatlik farazimiz noto’g’ri ekanligini ko’rsatadi, lemma isbotlandi.
2.1.2-ta’rif. funksiya da yotuvchi o’lchovli (Jardan ma’nosida) kompakt to’plamda Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’lsa u holda funksiya to’plamda lokal integrallanuvchi funksiya deyiladi .
D to’plamda lokal integrallanuvchi funksiyalar sinfini bilan belgilaymiz. Huddi bir o’zgaruvchining funksiyasidagi kabi funksiyaning da integrallanuvchi emasligi yoki soha da Jordan ma’nosida o’lchovli bo’lmasligiga yoki funksiya to’plamda chegaralanmaganligi bilan aniqlandi. Bu ikki maxsus hol bir vaqtda o’rinli bo’lishi ham mumkin.
- to’plamni qoplovchi to’plamlar ochiq chegaralangan Jordan to’plamlari bo’lsin, esa har bir da Riman ma’nosida integrallanuvchi funksiya bo’lsin. 1.1 Lemma va integrallanuvchi funksiyalarning xossasiga ko’ra, funksiya kompankt Jordan to’plamida integrallanuvchi bo’ladi, yani , buning teskarisi ham o’rinli bo’ladi, ya’ni agar - to’plamning qoplovchisi va bo’lsa u holda .