Kirish §. Sirtga urinma tekislik va normal

Ikkinchi tur sirt integrallarini hisoblash
Ikkinchi tur sirt integrali ham birinchi tur sirt integrali kabi ikki o’lchovli integralga keltirilib hisoblanadi.
Faraz qilaylik oriyentatsiya qilingan (ustki tomoni tanlab olingan) silliq sirt tenglama bilan berilgan bо‘lib funksiya ning tekislikdagi proyekuiyasi da uzluksiz bо‘lsin. sirtning barcha nuqtalarida uzluksiz funksiya.

sirtni ixtiyoriy ta qismlarga ajratamiz. U holda soha ham yuzlari mos ravishda bо‘lgan n ta qismlarga ajraladi. interal yig‘indini qaraymiz, bunda ning tekislikdagi proyeksiyasining yuzi. bо‘lgani uchun

bо‘ladi. Bunda da limitga о‘tib
(66.9)
ikkinchi tur sirt integralini hisoblash formulasiga ega bо‘lamiz.
Sirtning pastki qismi tanlanganda (66.9) ning о‘ng tomonidagi integral oldida manfiy ishora bо‘ladi.

265- chizma.

266- chizma.

6-misol. hisoblansin, bunda sirt silindrning y=0 va y=1 tekisliklar bilan kesib olingan ustki tomoni.



.

66.6 Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasida bog‘lanish
Agar normal vektorning о‘q bilan tashkil etgan burchagini desak kо‘paytma bо‘lakning tekislikdagi proyeksiyasi ning yuzini ifodalaydi, ya’ni Shunga о‘xshash bо‘ladi, bunda normal vektorning va о‘qlar bilan tashkil etgan burchaklari.
Olingan bu formulaga asoslanib (66.7) ifodani quyidagicha yozish mumkin.

. (66.10)
7-misol. Ushbu ikkinchi tur sirt integrali markazi koordinatalar boshida bо‘lib radiusi ga teng sferaning pastki yarmini ustki qismi bо‘yicha hisoblansin.
Yechilishi. Sferaning tenglamasi . Pastki yarim sferaning tenglamasi Bu sferaning tekislikdagi proyeksiyasi - aylana bilan chegaralangan doira. (65.9) formulani qо‘llab va integral ostidagi ni ga almashtirib

ikki о‘lchovli integralga ega bо‘lamiz. Bu integralni qutb koordinatalariga о‘tib hisoblagan ma’qul.
desak ,
bо‘lib

bо‘ladi. Ichki integralni bо‘laklab integrallaymiz.


Demak
8-misol. Ushbu ikkinchi tur sirt integrali konusning tekistlik bilan chegaralangan qismining ustki tomoni bо‘yicha hisoblansin.