Kirish §. Sirtga urinma tekislik va normal

Yechilishi. (66.9) formulani qо‘llab va ni ga almashtirib

ikki о‘lchovli integralga ega bо‘lamiz, bunda sirtning tekislikdagi proyeksiyasi aylana bilan chegaralangan doira. Qutb koordinatalariga о‘tilsa.

bо‘ladi.

Sirtga М₀(х₀,у₀,z₀) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislik deb
sirtning bu nuqtasi orqali o‘tgan barcha egri chiziqlarga o‘tkazilgan
urinmalar joylashgan tekislikka aytiladi.
М₀(х₀,у₀,z₀) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislikka perpendikulyar
bo‘lgan to‘g‘ri chiziq sirtga shu nuqtada o‘tkazilgan normal deb ataladi.
funksiya bilan berilgan sirtning М₀(х₀,у₀,z₀) nuqtasiga
o‘tkazilgan urinma tekislik va normal mos ravishda
(1)
(2)
tenglamalar bilan aniqlanadi.

4-§. Sirtning o’rta va to’la egriligi


Ta‘rif. Sirt egrilik chizig’ining egriligi sirtning bosh egriligi deyiladi.
Ta‘rif. Sirt bosh egriliklari yig’indisining yarmi sirtning o’rta egriligi deyiladi va Н bilan belgilanadi.
Ta‘rif. Sirt bosh egriliklarining ko’paytmasi sirtning to’la yoki Gauss egriligi deyiladi va К bilan belgilanadi.
Agar bosh egriliklarni deb belgilasak ta‘rifga asosan
Н= bo’ladi.
Sirtning elliptik nuqtasida bosh egriliklar bir hil ishoraga ega, shuning uchun bu nuqtada to’la egrilik musbat bo’ladi.
Giperbolik nuqtada bosh egriliklar bir hil ishoraga ega, shuning uchun bu nuqtada to’la egrilik manfiy. Parabolik va quyuqlashuv nuqtalarda to’la egrilik nolga teng bo’ladi.
Endi o’rta va to’la egriliklar uchun birinchi va ikkinchi kvadratik formalarning koeffsientlari orqali ifodalar topamiz. O’tgan paragrafda normal egrilik uchun ikkita

ifodalarni topgan edik. Bularning shaklini almashtirib
Ldu+Mdv-k_n(Edu+Fdv)=0
Mdu+Ndv-k_n(Fdu+Gdv)=0
ko’rinishda yozamiz. Bu tengliklardan du va dv larni yuqotib =0 ni olamiz.
yoki
(EG-F²)k_n²-(LG-2FM+NE)k_n+(LN-M²)=0
Bu kvadrat tenglamaning ildizlari bo’lib, ular bosh egriliklarni beradi. Viet teoremasiga asosan
(1)
(2)
(1) va (2) Formulalar yordamida o’rta va to’la egriliklar topiladi. Endi doimiy Gauss egriligiga ega bo’lgan sirtlarni kurib utamiz.
Gauss egriligi nolga teng bo’lgan sirtga misol sifatida tekislikni keltirish mumkin. Chunki tekislikda ixtiyoriy yo’nalish bo’yicha normal egrilik nolga tengdir. Shuning uchun xam Gauss egriligi nolga tengdir.
Doimiy musbat Gauss egriligiga ega bo’lgan sirt sferadir. Unda istalgan yo’nalish bo’yicha olingan normal egrilik 1/R ga teng. Shuning uchun Gauss egriligi K=1/R1/R=1/R²>0 bo’lib xar doim musbatdir.
Endi doimiy manfiy Gauss egriligiga ega bo’lgan sirtni kuramiz. Bunday sirtlar faqat aylanma sirtlar orasida bo’lishi mumkin.