Birinchi tur sirt integralini hisoblash sirt tenglama bilan berilgan bо‘lib bu funksiya sirtning tekislikdagi proyeksiyasi da uzluksiz va uzluksiz , xususiy hosilalarga ega bо‘lsin. sirtning har bir nuqtasida uzluksiz funksiya berilgan bо‘lsin. sirtni n ta ixtiyoriy qismlarga ajratib ularning yuzlarini ham mos ravishda lar orqali belgilaymiz. bо‘lakning tekislikdagi proyeksiyasini orqali belgilaymiz. U holda soha n ta qismlarga ajraladi.
Ikki о‘lchovli integral yordamida sirtning yuzi ni topish formulasi
ga binoan sirtning har bir bо‘ligini yuzi
bо‘ladi. Bu ikki о‘lchovli integralga о‘rta qiymat haqidagi teoremani qо‘llab
ni hosil qilamiz, bunda sirt bо‘lagini tekislikdagi proyeksiyasining yuzi, sohadagi biror tuqta. bо‘lakdagi koordinatali nuqtani orqali belgilab sirtda funksiya uchun
(10)
integral yig‘indini tuzamiz.
Tenglamaning о‘ng tomonidagi yig‘indi sohada uzluksiz funksiyaning integral yig‘indisi bо‘lganligi uchun da aniq limitga ega va u
ikki о‘lchovli integralga teng. Shartga kо‘ra funksiya sirtda uzluksiz bо‘lganligi sababli (10) tenglikning chap tomonidagi integral yig‘indi ham da aniq limitga ega.
Shunday qilib (10) tenglikda da limitga o`tib
(11)
birinchi tur sirt integralini hisoblash formulasiga ega bо‘lamiz. Bu formula sirt bо‘yicha birinchi tur sirt integralini sirtning tekislikdagi proyeksiyasi bо‘yicha olingan ikki о‘lchovli integral orqali ifodalaydi.
1-misol. integral hisoblansin, bunda tekislikning 1-oktantda qismi.
